[論文レビュー] A note on the discrete-time evolutions of quantum walk on a graph

Yusuke Higuchi, Norio Konno+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、辺上の離散時間量子ウォークの進化行列の固有多項式と、頂点上の古典的ランダムウォークの遷移行列の固有多項式を結びつける一般化されたスペクトルマッピング公式を、重み付き辺および頂点演算子を用いて確立する。主な貢献の一つは、群彩条件（>4）のもとで、グローバー進化行列の立方の正のサポートが、その立方の正のサポートとその転置行列の和に等しくなることを証明することであり、これにより新たな等スペクトル的グラフ解析が可能になる。

ABSTRACT

For a quantum walk on a graph, there exist many kinds of operators for the discrete-time evolution. We give a general relation between the characteristic polynomial of the evolution matrix of a quantum walk on edges and that of a kind of transition matrix of a classical random walk on vertices. Furthermore we determine the structure of the positive support of the cube of some evolution matrix, which is said to be useful for isospectral problem in graphs, under a certain condition.

研究の動機と目的

• 量子ウォーク進化行列と古典的ランダムウォーク遷移行列の間のスペクトル的関係を一般化すること。
• 特に、等スペクトル的グラフが同型でなければならないかどうかを含めた、量子ウォークにおける等スペクトル的問題を調査すること。
• 特定のグラフ条件の下で、グローバー進化行列の立方の正のサポートを特徴づけること。
• 正則グラフに対する既知のスペクトル的結果を、任意の辺重みと実数パラメータをもつ一般の重み付きグラフへと拡張すること。

提案手法

• 頂点上の古典的ランダムウォークのための重み付き遷移行列 $\mathbf{S}^w$ を導入する。
• 量子ウォークの有向辺上の重み付き次数行列 $\mathbf{D}^w$ と進化行列 $\mathbf{U}^{w,s}$ を定義する。
• 行列 $\mathbf{U}^{w,s}$ の固有多項式と $\mathbf{S}^w$ および $\mathbf{D}^w$ の多項式を結びつける一般の行列式恒等式を導出する。
• 行列分解 $\mathbf{U}^{w,s} = \mathbf{Q} + \mathbf{P}$ を用い、$\mathbf{Q}$ は非バックトラッキング経路を、$\mathbf{P}$ はバックトラッキングをそれぞれ捉える。
• 経路タイプ（0〜3回のバックトラッキングを含む）に分解することで、$({}^T\mathbf{U})^3$ の正のサポートを分析する。
• 4サイクルの排除を保証するグラフの群彩条件 $g(G) > 4$ を適用し、$\mathbf{Q}^3$ と $\mathbf{P}\mathbf{Q}\mathbf{P}$ の非ゼロ成分が重複せず、それぞれ1に等しいことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じグラフ上で、離散時間量子ウォークの進化行列のスペクトルを、古典的ランダムウォークの遷移行列のスペクトルとどのように関係付けることができるか？
• RQ2 グローバー進化行列の立方の正のサポートが閉じた形で表現可能となる条件は何か？
• RQ3 ${\bf U}^3$ の正のサポート $({\bf U}^3)^+$ は、$({\bf U}^+)^3$ と $^T{\bf U}^+$ の形で完全に特徴づけられるか？
• RQ4 グラフに4サイクルが存在しない場合、$\mathbf{U}^3$ の正のサポートが $({\bf U}^+)^3$ と $^T{\bf U}^+$ の和に等しくなるか？
• RQ5 定理1.1におけるスペクトルマッピング公式は、正則グラフに対する既存の結果をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 量子ウォーク進化行列 $\mathbf{U}^{w,s}$ の固有多項式は、$\det(\lambda\mathbf{I}_{2m} - \mathbf{U}^{w,s}) = (\lambda^2 - 1)^{m-n} \det\left((\lambda^2 - 1)\mathbf{I}_n - s\lambda\mathbf{S}^w + s\mathbf{D}^w\right)$ で与えられ、既知の結果を一般化する。
• 群彩条件 $g(G) > 4$ の下で、$\mathbf{U}^3$ の正のサポートは $({\bf U}^3)^+ = ({\bf U}^+)^3 + {}^T{\bf U}^+$ を満たし、すべての非ゼロ成分は1に等しい。
• $({\bf U}^+)^3$ と ${\bf P}{\bf U}^+{\bf P}$ の非ゼロ成分は、4サイクルの不在により重複せず、和が適切に定義される。
• 群彩条件のもとで、$({\bf U}^3)^+$ の構造は、ウォークの正のサポートとその転置行列のものによって完全に決定される。
• 本結果は、量子ウォークにおける等スペクトル的グラフ問題のための新たな道具を提供し、$g(G) > 4$ かつ $({\bf U}^3)^+$ のサポートが一致する等スペクトル的グラフは、同型でなければならないことを示唆する。
• 導出により、$g(G) > 4$ のとき、サイクルの排除のおかげで、$\mathbf{U}^3$ の正のサポートに重複する経路寄与が影響しないことが確認された。