[論文レビュー] A note on the equivalence of Lagrangian and Hamiltonian formulations at post-Newtonian approximations

Rongchao Chen, Xin Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、相対論的円形制限三体問題に1PNラグランジアンを適用し、後ニュートン的（PN）ラグランジアンとハミルトニアン形式の理論的・数値的同等性を示している。収束する無限次数テイラー展開を用いて、低次のラグランジアンが高次のハミルトニアンと同等であることを示し、十分に高いPN次数においてこれらの形式が同一になるという主張を裏付けており、従来のカオス的運動の予測における矛盾を解消している。

ABSTRACT

It was claimed recently that a low order post-Newtonian (PN) Lagrangian formulation, which corresponds to the Euler-Lagrange equations up to an infinite PN order, can be identical to a PN Hamiltonian formulation at the infinite order from a theoretical point of view. This result is difficult to check because in most cases one does not know what both the Euler-Lagrange equations and the equivalent Hamiltonian are at the infinite order. However, no difficulty exists for a special 1PN Lagrangian formulation of relativistic circular restricted three-body problem, where both the Euler-Lagrange equations and the equivalent Hamiltonian not only are expanded to all PN orders but also have converged functions. Consequently, the analytical evidence supports this claim. As far as numerical evidences are concerned, the Hamiltonian equivalent to the Euler-Lagrange equations for the lower order Lagrangian requires that they both be only at higher enough finite orders.

研究の動機と目的

• 有限のPN次数において、後ニュートン（PN）力学におけるラグランジアン形式とハミルトニアン形式が同等であるかどうかという長年の議論を解決すること。
• 特に可積分性とカオス性に関して、低次のPNラグランジアン形式とハミルトニアン形式の動的差異を調査すること。
• 低次のラグランジアンが高次のハミルトニアン形式と同等であるという理論的根拠を、解析的および数値的証拠で提示すること。
• 与えられたラグランジアンに対して、無限大または十分に高いPN次数において同等のハミルトニアンが存在するという理論的主張を検証すること。
• スピンを有するコンact二重星系におけるカオス的挙動に関する矛盾する結果を解消し、高次のPN次数において同等性が顕在することを示すこと。

提案手法

• リーマン幾何的制限三体問題の1PNラグランジアン形式から、ルジャンドル変換を用いてハミルトニアンを導出する。
• オイラー＝ラグランジュ方程式と同等のハミルトニアンを、無限次PN次数まで収束するテイラー級数に展開する。
• 高精度シンプレクティック積分法を用いて運動方程式を数値的に統合し、異なるPN次数における軌道を比較する。
• 高速リャプノフ指標（FLI）を用いて、さまざまなPN近似における周期的軌道とカオス的軌道を区別する。
• 時間経過に伴い、異なる近似（ELk、Hk）と完全な無限次解（EL、H）との間の位置ずれ |Δr| = |rk − rH| を比較する。
• 分離距離 a のパラメータスイープを実施し、動的同等性が相対論的効果に依存するかを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的円形制限三体問題において、1PNラグランジアン形式は、それに対応する無限次ハミルトニアン形式と同等であるか？
• RQ2 オイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトニアン方程式の低次のPN近似（例：1PN）は、完全な無限次形式と比べて顕著に異なる動的挙動を示すか？
• RQ3 どのPN次数において、近似式 ELk と Hk が正確な無限次解 EL と H と動的に同等になるか？
• RQ4 さまざまなPN近似におけるカオス指標（例：FLI）はどのように変化するか？また、高次の次数においては同じ挙動に収束するか？
• RQ5 数値的証拠は、低次のラグランジアンが高次のハミルトニアン形式と同等であるという理論的主張を確認できるか？

主な発見

• 1PNラグランジアン形式は、オイラー＝ラグランジュ方程式と同等のハミルトニアンを生成し、両者とも無限次テイラー級数として収束するため、正確な解析的比較が可能である。
• 数値的結果から、1PNラグランジアンとその対応するハミルトニアンは、十分に高いPN次数においてのみ動的に同等であることが示され、EL12 と H12 が完全な無限次解とよく一致している。
• ELk と H（または Hk と EL）の間の位置ずれ |Δr| は、k の増加に伴い著しく減少し、k = 12 のとき t = 10,000 で約 10⁻⁷ に達し、ほぼ同一の軌道であることが示された。
• 大分離距離（a ≥ 140）では、すべてのPN近似（ELk、Hk）が完全な解と動的に区別できない。これは相対論的効果が小さいためである。
• 小分離距離（a < 100）では、低次の近似と完全な解との間で動的差異が持続し、EL1 と H1 は顕著な乖離を示した。
• 高速リャプノフ指標（FLI）は、カオス的領域と周期的領域が高次のPN次数において一致することを確認し、無限次次数の極限において形式が同等であることを裏付けた。