[論文レビュー] A Note on the Gauge Group of the Electroweak Interactions

V.A. Rizov, Ivan Vitev|ArXiv.org|Sep 14, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、電弱相互作用のゲージ群として、U(2)の3重被覆とされるメタユニタリ群MU(2)を提案する。これにより、±1/3、±2/3、±1などの分数電荷を持つ場を一貫して記述できる。MU(n)を(R × SU(n))/3Zとして構成することで、Det^{k/3}のような準同型写像により、U(1)電磁荷の分数値を well-defined な表現として取り入れることができ、標準模型のU(1) hypercharge 割り当ての不整合を解消する。

ABSTRACT

We propose a three-fold covering of the group ${U}(2)$ as a gauge group for the electroweak interactions for the purpose of describing fields with integer and fractional electric charges with respect to the residual electromagnetic gauge group after a spontaneous breaking of the gauge symmetry. In a more general scheme we construct a three-fold covering of ${U} (n)$ and consider for the case $n=2$ several representations which are used in the construction of a model of the electroweak interactions in a subsequent paper.

研究の動機と目的

• 標準模型のU(1) hypercharge 割り当てに一貫性がなく、±1/3、±2/3などの分数電荷を記述できないという問題を解消すること。
• 自发対称性の破れ後に整数および分数電荷を持つ場を支持するゲージ群を構築すること。
• U(n)の3重被覆を用いて、分数 hypercharge 割り当てを数学的に一貫した枠組みで提供すること。特に電弱理論においてn=2に焦点を当てる。
• MU(2)の表現およびそのリー代数を定義し、レプトンおよびクォークに対して正しい電荷を再現すること。
• 電弱相互作用の後続モデルをMU(2)ゲージ群に基づいて構築する基盤を提供すること。

提案手法

• R がU(1) hypercharge を表し、SU(n) が弱アイソスピンを表す (R × SU(n))/3Z としてメタユニタリ群MU(n)を構成する。
• T[u,A] = e^{iu}A で定義される全射準同型写像 T: MU(n) → U(n) を導入し、MU(n) がU(n)の3重被覆であることを示す。
• Det^{k/3}[u,A] = e^{i(2k/3)u} で定義される準同型写像 Det^{k/3}: MU(2) → U(1) を導入し、これにより場に分数電荷を割り当てる。
• T^k = Det^{k/3} · T を用いて MU(2) → U(2) への群準同型を定義し、特定の hypercharge および電荷割り当てを持つ表現を生成する。
• Det^{k/3} および T^k の制限により、電磁気的部分群 MU_em(1) ⊂ MU(2) の1次元表現を構成し、電荷 q_w = k/3 を割り当てる。
• 群準同型の微分によりMU(2)のリー代数表現を導出し、U(1)生成子に対して分数固有値を持つことを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(2)の3重被覆が、分数電荷を持つ場を一貫して記述できる電弱相互作用のゲージ群を提供できるか？
• RQ2 標準模型のU(1) hypercharge 割り当ては、±1/3などの分数電荷では失敗するが、どのように一貫的に一般化できるか？
• RQ3 U(1)の分数表現を電磁気的部分群で well-defined に可能にする被覆群の数学的構造は何か？
• RQ4 MU(2)の表現およびそのリー代数の表現が、クォークおよびレプトンの正しい電荷を再現できるか？
• RQ5 この被覆群フレームワークを用いて、ゲージ理論における共変微分構造を一貫して定義できるか？

主な発見

• メタユニタリ群MU(2) = (R × SU(2))/3Z がU(2)の3重被覆として構成され、電弱相互作用のための一貫したゲージ群を提供する。
• 準同型写像 Det^{1/3}: MU(2) → U(1) により、場に電荷 q_w = -1/3 を割り当て、対応する hypercharge は Y = 1/3 となり、標準模型の割り当ての不整合が解消される。
• 表現 T^{-2}: MU(2) → U(2) により、左巻き場には電荷 q_w = -1/3、右巻き場には q_w = 2/3 が得られ、クォークおよびレプトンの割り当てと一致する。
• MU(2)のリー代数表現において、U(1)生成子Xの固有値は -1/2, 1/6, -1/3, 2/3, -1 であり、それぞれ分数電荷に対応する。
• 写像 T: MU(2) → U(2) の核は3つの異なる元から構成され、MU(2) がU(2)の3重被覆であることが確認され、T は全射準同型である。
• この枠組みにより、電磁気的部分群 MU_em(1) の1次元表現の直和が可能となり、各表現が固定された電荷を持つ。これは標準模型に類似しているが、分数割り当てが一貫している。