[論文レビュー] A Note on the Grothendieck Group of an Additive Category

David E. V. Rose|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、加法的圏 𝒜 の分割グロテンディーク群が、𝒜 の有界複体のホモトピー圏の三角形グロテンディーク群に同型であることを証明する。また、複体のオイラー特性—分割グロテンディーク群におけるその項の交互和として定義される—がホモトピー同値に関して不変であることを確立し、代数的構造のカテゴリフィケーションにおける基礎的問題を解決する。

ABSTRACT

There are two abelian groups which can naturally be associated to an additive category A: the split Grothendieck group of A and the triangulated Grothendieck group of the homotopy category of (bounded) complexes in A. We prove that these groups are isomorphic. Along the way, we deduce that the `Euler characteristic' of a complex in A is invariant under homotopy equivalence.

研究の動機と目的

• 加法的圏の分割グロテンディーク群が、その有界ホモトピー圏の三角形グロテンディーク群に同型であるかどうかという問題を解決すること。
• 加法的圏における複体のオイラー特性がホモトピー同値に関して不変であることを確立すること。
• 特に絡みの不変量や量子代数においてホモトピー圏の使用を支援する基礎的結果を提供すること。
• 有界下複体の場合における無限直和を用いて、オイラー特性の不変性を非有界複体へ一般化すること。

提案手法

• 区別された三角形を用いて、分割グロテンディーク群 K⊕(𝒜) から三角形グロテンディーク群 K△(Kb(𝒜)) への全射群準同型を構成する。
• 三角形 A· → 0 → A[−1]· を用い、⟨A[−1]·⟩ = −⟨A·⟩ を導出し、シフトにおける符号の振る舞いを確立する。
• 三角形 A· → 0 → A[−1]· と帰納法を用い、⟨A·⟩ = χ(A·) = ∑(−1)^i⟨A^i⟩ が K△(Kb(𝒜)) 内で成り立つことを示す。
• 区別された三角形を用いて、⟨(A₁ ⊕ A₂)·⟩ = ⟨A₁·⟩ + ⟨A₂·⟩ が成り立つことを示し、直和との整合性を保証する。
• 零ホモトープな複体における偶数次元項と奇数次元項の直和の間の同型を示すために、明示的な行列 R と L を構成する。
• 再帰的係数 α_k = (−1)^k c_k を用い、c_k を第 k 個のカタラン数とする。行列の要素を定義し、RL = LR = id を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的圏の分割グロテンディーク群とその有界ホモトピー圏の三角形グロテンディーク群は同型であるか？
• RQ2 加法的圏における複体のオイラー特性はホモトピー同値に関して不変か？
• RQ3 零ホモトープな複体に対してオイラー特性が 0 になるという性質は、非有界複体へ拡張可能か？
• RQ4 区別された三角形とシフトからの関係以外に追加の関係を課さずに、K⊕(𝒜) と K△(Kb(𝒜)) の同型を確立できるか？

主な発見

• 分割グロテンディーク群 K⊕(𝒜) は、自然な群同型を通じて三角形グロテンディーク群 K△(Kb(𝒜)) に同型である。
• オイラー特性 χ(A·) = ∑(−1)^i⟨A^i⟩ は、偶数次元と奇数次元の全複体の同型によって示されるように、ホモトピー同値に関して不変である。
• 任意の零ホモトープな複体 A· に対して、その偶数次元項の直和と奇数次元項の直和は同型である、すなわち ⊕A^{2i} ≅ ⊕A^{2i+1} が成り立つ。
• この同型は、ホモトピー写像とカタラン関連係数 α_k を用いて定義された行列 R と L を用いて明示的に実現される。
• この結果は、有界下複体 K+(𝒜) へ拡張可能であり、同型の無限極限により、零ホモトープな複体に対して ⊔A^{2i} ≅ ⊔A^{2i+1} が得られる。
• 係数 α_k は α_k = (−1)^k c_k を満たし、c_k は第 k 個のカタラン数である。この係数は、行列 R と L の逆対を構成するために用いられる。