[論文レビュー] A Note on the Isotopism of Commutative Semifields

Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{F}_{3^6}$ 上の可換半体の、同相的ではあるが強く同相的でない具体例を構成し、n が偶数の場合に、Coulter と Henderson が奇数の $p^n$ に対して示した主要な結果が一般化できないことを示している。この例は LMPTB および BHB 半体を用いており、偶数の特徴付きの場合に同相性が強く同相性を意味しないこと、およびその乗法表から導かれる非同値な平面関数を用いて不等価性が確認されている。

ABSTRACT

We present an example of two isotopic but not strongly isotopic commutative semifields. This example shows that a recent result of Coulter and Henderson on semifield of order p^n, n odd, can not be generalized to the case n even.

研究の動機と目的

• Coulter と Henderson が奇数の $p^n$ に対して示した可換半体の同相性に関する結果が、$n$ が偶数の場合に拡張可能かどうかを調査すること。
• $\mathbb{F}_{3^6}$ 上の同相的だが強く同相的でない可換半体の具体例を構成すること。
• $n$ が偶数のとき、可換半体の設定において同相性が常に強く同相性を意味するかどうかを特定すること。
• コードの同値性手法を用いて関連する平面関数の同値性を分析すること。

提案手法

• 定義多項式 $x^6 - x^4 + x^2 - x - 1$ を用いて、$\mathbb{F}_3$ 上の LMPTB 半体 $F_1 = (\mathbb{F}_{3^6}, +, \star)$ を構築する。
• $\lambda = \xi^{91}$ として $x \odot y = (\lambda \star x) \star y$ を定義し、$F_1$ と $F_2 = (\mathbb{F}_{3^6}, +, \odot)$ が同相であることを示す。
• $\mathbb{F}_{3^6}$ 上でラグランジュ補間を用いて、平面関数 $f_1(x) = x \star x$ と $f_2(x) = x \odot x$ を計算する。
• 入力出力ペアから導かれる生成行列を用いて、$f_1$ と $f_2$ のグラフから線形コード $C_{f_1}$ と $C_{f_2}$ を構築する。
• MAGMA を用いて $C_{f_1}$ と $C_{f_2}$ の単項同値性をテストし、平面関数において置換同値性が CCZ 同値性に等しいことを用いる。
• CCZ 同値性が EA 同値性を意味することを応用し、コードの非同値性から関数の非同値性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Coulter と Henderson が奇数の $p^n$ に対して示した可換半体の同相性に関する結果が、$n$ が偶数の場合に一般化可能か。
• RQ2 $n$ が偶数のとき、同相的だが強く同相的でない可換半体の例が存在するか。
• RQ3 同相な可換半体は、常に EA または CCZ 同値性のもとで等価な平面関数をもたらすか。
• RQ4 半体の核構造を用いて、強く同相的でない関係を検出できるか。
• RQ5 関連する平面関数とそのコードを用いて、同相的だが強く同相的でない半体を計算的に区別する方法はあるか。

主な発見

• $\mathbb{F}_{3^6}$ 上の同相的だが強く同相的でない可換半体の具体例が構成され、Coulter-Henderson 定理が $n$ が偶数の場合に一般化できないことを反証した。
• LMPTB 半体 $F_1$ と $\lambda = \xi^{91}$ を用いて定義された $F_2$ は同相的だが強く同相的でないことが、コードの非同値性によって確認された。
• 平面関数 $f_1(x) = x \star x$ と $f_2(x) = x \odot x$ は EA 同値でない。これは、それらに付随する線形コード $C_{f_1}$ と $C_{f_2}$ が単項同値でないためである。
• コード $C_{f_2}$ が $3^6$ 階の BHB 半体からのコードと単項同値であることが判明し、BHB と LMPTB 半体が同相的だが強く同相的でないことが示された。
• $F_1$ の核は $|N_m(F_1)| = 3^2$ および $|N(F_1)| = 3$ を満たし、$N_m(F_1) \setminus N(F_1)$ に属する4つの元は $\gamma \star \beta^2$ の形に書けない。これらは同相性を構成する上で重要な役割を果たす。
• この結果により、$n$ が偶数の可換半体の場合に同相性が強く同相性を意味しないことが示され、また、同相性によって新たな非同値な平面関数を生成できることも明らかになった。