[論文レビュー] A Note on the Sum of Correlated Gamma Random Variables

José F. Paris|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Lauricella関数を用いて、任意に相関を持つガンマ確率変数の和の確率密度関数（PDF）および累積分布関数（CDF）の正確な閉形式表現を導出する。モーメント生成関数を活用し、その関係を退化Lauricella関数 $\Phi_2^{(N)}$ に結びつけることで、特に最大比結合（MRC）システムにおける outage 確率の性能評価に適用可能な、簡潔な解析的表現を提供する。

ABSTRACT

The sum of correlated gamma random variables appears in the analysis of many wireless communications systems, e.g. in systems under Nakagami-m fading. In this Letter we obtain exact expressions for the probability density function (PDF) and the cumulative distribution function (CDF) of the sum of arbitrarily correlated gamma variables in terms of certain Lauricella functions.

研究の動機と目的

• 任意に相関を持つガンマ確率変数の和の正確な解析的表現を導出すること。
• 既存の無限級数表現を改善し、PDFおよびCDFを簡潔な閉形式で表現すること。
• 相関のあるNakagami-$m$ fading下での無線システムの正確な性能評価を可能にすること。
• 多様な通信システムモデルに適用可能な特殊関数を用いた数学的に厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 変換された相関行列の固有値に基づいて、相関ガンマ変数の和のモーメント生成関数（MGF）を導出する。
• ラプラス変換の逆変換を通じて、MGFと退化Lauricella関数 $\Phi_2^{(N)}$ の関係を確立する。
• 行列 $A = DC$ を構築する。ここで $D$ は尺度パラメータ $\beta_n$ を含み、$C$ は $\sqrt{\rho_{ij}}$ を用いて相関係数を符号化する。$\lambda_n$ は $A$ の固有値である。
• CDFおよびPDFを $\Phi_2^{(N)}$ を用いて $-y/\lambda_n$ を引数に表し、正確な計算を可能にする。
• この定式化は既知の結果を一般化し、$N=1$ かつ $\alpha=m$ のとき標準的なNakagami-$m$分布に還元される。
• 導出は積分表現および文献に既知の退化Lauricella関数に関する恒等式に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に相関を持つガンマ確率変数の和は、無限級数を避ける閉形式で表現可能か？
• RQ2 どの特殊関数がこのような和のPDFおよびCDFの簡潔な表現を提供するか？
• RQ3 相関ガンマ変数のモーメント生成関数を多変数超幾何関数に変換する方法は何か？
• RQ4 相関スケール行列の固有値とその和の分布との関係は何か？
• RQ5 独立または同一分布のガンマ変数の場合、これらの表現はどの程度簡略化されるか？

主な発見

• 和 $Y = \sum_{n=1}^N X_n$ のCDFは $F_Y(y) = \frac{y^{N\alpha}}{\det(A)^\alpha \Gamma(1+N\alpha)} \Phi_2^{(N)}(\alpha,\ldots,\alpha; 1+N\alpha; -y/\lambda_1, \ldots, -y/\lambda_N)$ で与えられる。
• YのPDFは $f_Y(y) = \frac{y^{-1+N\alpha}}{\det(A)^\alpha \Gamma(N\alpha)} \Phi_2^{(N)}(\alpha,\ldots,\alpha; N\alpha; -y/\lambda_1, \ldots, -y/\lambda_N)$ で表される。
• N=1 の場合、$\alpha = m$ かつ $\beta_1 = \bar{\gamma}/m$ であれば、表現は標準的なNakagami-$m$確率変数の二乗のCDFおよびPDFに還元される。
• 導出された表現は正確かつ簡潔であり、先行研究における無限級数表現に伴う収束問題を回避する。
• この手法により、相関のあるNakagami-$m$ fadingチャネルにおける最大比結合（MRC）システムのoutage確率を直接計算可能となる。
• 退化Lauricella関数 $\Phi_2^{(N)}$ の使用により、相関 fading 環境における性能評価のための統一的かつ解析的に取り扱いやすいフレームワークが提供される。