[論文レビュー] A Note on the Two Approaches to Stringy Functors for Orbifolds

Ralph M. Kaufmann|ArXiv.org|Mar 7, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、 orbifold におけるストリング的ファンクターを構成する2つのアプローチ—プッシュ・アフター・プルとプル・アフター・プッシュ—を統合する。 両者の形式的枠組みが、巡回的ねじれセクターおよびdeRhamコホモロジーの設定において、形式的分数エーラー類とトムのプッシュフォワードを用いて同等のストリング的乗法をもたらすことを示している。 主な結果は、障害コサイクルが根を添加した環拡大によって形式的に自明化されることであり、$G$-Frobenius代数の再構成計画を完了する。

ABSTRACT

In this note, we reconcile two approaches that have been used to construct stringy multiplications. The pushing forward after pulling back that has been used to give a global stringy extension of the functors K_0,K^{top},A^*,H^* [CR, FG, AGV, JKK2], and the pulling back after having pushed forward, which we have previously used in our (re)-construction program for G-Frobenius algebras, notably in considerations of singularities with symmetries and for symmetric products. A similar approach was also used by [CH] in their considerations of the Chen-Ruan product in a deRham setting for Abelian orbifolds. We show that the pull-push formalism has a solution by the push-pull equations in two situations. The first is a deRham formalism with Thom push-forward maps and the second is the setting of cyclic twisted sectors, which was at the heart of the (re)-construction program. We go on to do formal calculations using fractional Euler classes which allows us to formally treat all the stringy multiplications mentioned above in the general setting. The upshot is the formal trivialization of the co-cycles of the reconstruction program using the presentation of the obstruction bundle of [JKK2].

研究の動機と目的

• グローバル商 $X/G$ のインertia多様体におけるストリング的乗法を構成するための2つの異なる形式的枠組み—プル・アフター・プッシュとプッシュ・アフター・プル—を統合すること。
• 巡回的ねじれセクターおよびdeRhamコホモロジーの文脈において、これらのアプローチが同等であることを確立すること。
• トムのプッシュフォワードと形式的分数エーラー類を用いて、一般のグローバル商に対して厳密な枠組みを提供すること。
• $G$-Frobenius代数の再構成計画を、根を添加した環拡大による障害コサイクルの自明化によって完了すること。
• 有理数 $K$-理論とdeRhamチェーンにおける形式的計算を用いて、アーベル群に限らない群へのChen–Ruan積の一般化を達成すること。

提案手法

• グローバル商 $X/G$ のインertia多様体上で、プル–プッシュおよびプッシュ–プルの形式的枠組みを用いてストリング的乗法を定義する。
• 射影公式と巡回的ねじれセクターにおける切断の存在を用いて、2つのアプローチを等価にすること。
• deRham設定においてトムのプッシュフォワード写像を用い、ホモトピーの意味でプッシュフォワードを定義することで、コホモロジー的プッシュフォワードと整合性を保つ。
• 有理数 $K$-理論における負および分数ベクトル束に対して形式的分数エーラー類を導入し、障害束の代数的取り扱いを可能にする。
• コホモロジーまたは $K$-理論環に $|m|$ 乗根を添加して $Ω(S_m)$ を定義し、整合的なストリング的積の構成を可能にする。
• 余剰交差公式およびエーラー類の自然変換性質を用いて、$H^*, A^*, K_0, K^{top}$ などの異なる幾何的ファンクター間での形式的計算の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルオルビフォールドの文脈において、ストリング的ファンクターのプル・アフター・プッシュとプッシュ・アフター・プルの構成は統合可能か？
• RQ2 プッシュ–プル形式的枠組みは、巡回的ねじれセクターにおける $G$-Frobenius代数の再構成計画を解けるか？
• RQ3 障害コサイクルは、分数エーラー類を用いて形式的に自明化可能か？
• RQ4 deRham設定において、トム形式と形式的計算を用いて、プッシュ–プル形式的枠組みはホモトピーの意味で整合的か？
• RQ5 アーベル群に限らない群へのChen–Ruan積は、有理数 $K$-理論における形式的根拡大を用いて一般化可能か？

主な発見

• 巡回的ねじれセクターにおいて、プル–プッシュとプッシュ–プルの形式的枠組みは同等であり、両者とも一貫したストリング的乗法をもたらす。
• deRham設定において、プッシュ–プル形式的枠組みはホモトピーの意味で成立し、すべての必要な公式が完全形式を除いて有効である。
• 負および有理数 $K$-理論の束に対する形式的分数エーラー類により、再構成計画における障害束の一貫した取り扱いが可能になる。
• 障害コサイクル $S_m$ は、コホモロジーまたは $K$-理論環に $|m|$ 乗根を添加した環拡大において形式的に自明化される。
• ストリング的積は適切に定義されており、拡張環における $Ω(S_m) = \prod_{k \neq 0,i} w_{m,k,i}^{k/|m|}$ の形式的記法によって明示的に構成可能である。
• この構成により、Chen–Ruan積は非アーベルオルビフォールドへ一般化され、形式的計算を用いた $G$-Frobenius代数の再構成計画が完了する。