[論文レビュー] A numerical solution to the minimum-time control problem for linear discrete-time systems

Laurent Bako, Dulin Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スパース最適化を用いて、線形離散時系列系における最小時間制御問題の汎用的数値解法を提示する。状態系列のノルム最小化を重み付き ℓ2-ノルム最小化に緩和することにより、凸最適化が可能となり、十分な条件下で時間最適制御を正確に回復できる。この手法は、バング・バング制御構造を必要とせず、任意の多入力系に適用可能である。

ABSTRACT

The minimum-time control problem consists in finding a control policy that will drive a given dynamic system from a given initial state to a given target state (or a set of states) as quickly as possible. This is a well-known challenging problem in optimal control theory for which closed-form solutions exist only for a few systems of small dimensions. This paper presents a very generic solution to the minimum-time problem for arbitrary discrete-time linear systems. It is a numerical solution based on sparse optimization, that is the minimization of the number of nonzero elements in the state sequence over a fixed control horizon. We consider both single input and multiple inputs systems. An important observation is that, contrary to the continuous-time case, the minimum-time control for discrete-time systems is not necessarily entirely bang-bang.

研究の動機と目的

• 任意の線形離散時系列系における最小時間制御問題の汎用的で計算可能である解法の開発。
• 従来の手法が低次元系やダブルインテグレータのような特定系に限定されているという制限の解消。
• 状態系列のスパarsity（濃度）を直接最小化する問題の計算的に不適切な性質を、凸緩和によって克服。
• 緩和された問題が、特定の理論的条件下で真の最小時間解を正確に回復できることの証明。
• バング・バング制御構造に限定されない適用可能性の拡張。これは離散時系列系では常に成り立つわけではない。

提案手法

• 有限時間区間における非ゼロ状態数の最小化、すなわち状態軌道のスパarsityを最小化する問題として最小時間制御問題を定式化。
• 状態系列の濃度最小化という非凸で組合せ的な問題を、状態の重み付き ℓ2-ノルム最小化を用いて凸最適化問題に緩和。
• 時間とともに増加する時変係数を導入し、早期の状態減衰とスパarsityを促進。
• 凸最適化ソルバを用いて、状態を最小時間でゼロに駆動する制御系列を効率的に計算。
• 緩和された解が真の最小時間制御方策と一致する十分な条件を導出。
• 最適化を定期的に実行するオンラインリコニング・ホライズン戦略を実装。これは各時刻で行うのではなく、間欠的に行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース最適化問題の凸緩和は、離散時間線形系における最小時間制御問題の正確な解をもたらすか？
• RQ2 提案手法はダブルインテグレータのような特殊ケースに限らず、任意の多入力線形系に適用可能か？
• RQ3 なぜ離散時間系では最適制御が連続時間系のように常にバング・バングでないのか？
• RQ4 重み付き ℓ2-ノルム緩和が真の最小時間解を回復する条件は何か？
• RQ5 本手法は高次元状態と複数入力を持つ系においてどのように性能を示すか？

主な発見

• 提案手法はダブルインテグレータ系に対して、連続時間解で観察される予想される放物線軌道と一致する時間最適制御系列を正確に計算できた。
• ダブルインテグレータ系において、最適制御は完全にバング・バングではないことが確認され、離散時間系では最適制御が常にバング・バングでないという先行研究の結果を裏付けた。
• ランダムなダイナミクスを有する3次元多入力系において、10ステップのホライズン内で状態をゼロに駆動する妥当な制御系列が計算された。
• 状態がゼロから遠いときは制御入力がその境界（すなわち ∥u∥₂ = 1）に近づき、状態がゼロに近づくにつれて減少する傾向を示し、効果的なフィードバック行動を示した。
• 重み付き ℓ2-ノルム緩和アプローチは、導出された十分な条件下で最小時間解を正確に回復でき、理論的枠組みの妥当性を裏付けた。
• 本手法により、リアルタイム応用における定期的再最適化が可能となり、計算負荷を低減しながらも性能を維持できた。