[論文レビュー] A parallel approximation algorithm for mixed packing and covering semidefinite programs

Rahul Jain, Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、線形計画法におけるYoungの手法を模倣して、混合パッキングおよびカービング半定値計画問題の並列近似アルゴリズムを提示する。前人研究と比較して、近似要因εに対する依存性が改善され、並列実行時間は$ olimits\mathrm{polylog}(n,m) \cdot \frac{1}{{\varepsilon}^4} \cdot \log\frac{1}{{\varepsilon}}$を達成する。

ABSTRACT

We present a parallel approximation algorithm for a class of mixed packing and covering semidefinite programs which generalize on the class of positive semidefinite programs as considered by Jain and Yao [2011]. As a corollary we get a faster approximation algorithm for positive semidefinite programs with better dependence of the parallel running time on the approximation factor, as compared to that of Jain and Yao [2011]. Our algorithm and analysis is on similar lines as that of Young [2001] who considered analogous linear programs.

研究の動機と目的

• 混合パッキングおよびカービング半定値計画問題の高速な並列近似アルゴリズムの開発。これは正定値半定値計画問題の一般化である。
• 従来の半定値計画問題アルゴリズムで実行時間のボトルネックとなっていた幅パラメータに依存しないようにすること。
• 特にJainとYao（2011）の研究と比較して、正定値半定値計画問題において近似要因$\varepsilon$に対する依存性を改善すること。
• Young（2001）の線形計画法におけるフレームワークを、ソフト固有値関数とトレースに基づくポテンシャル関数を用いて半定値設定に拡張すること。
• この一般化されたアプローチにより、正定値半定値計画問題の解析を単純化し、収束を高速化すること。

提案手法

• 制約行列$P$および$C$が単位行列となる標準形に変換するため、$\mathrm{polylog}(mn)$時間で並列的な還元を実行する。
• 行列指数のトレースに基づくポテンシャル関数$g = \frac{\operatorname{Tr}(\exp(\sum x_i P_i))}{\operatorname{Tr}(\exp(-\sum x_i C_i))}$を用い、パッキングおよびカービング制約の両方の進行度を追跡する。
• 各増分が$\sum x_i C_i$の最小固有値を、$\|\sum x_i P_i\|$の増加に関連する要因で増加させるように、ベクトル$x$を維持する。
• 各反復で、$P_j$および$C_j$成分におけるトレース増加分の比である局所的利得$\mathrm{local}_j(x)$を最大化するインデックス$j$を選択する。
• 反復回数を制限し、$\mathcal{O}(N/\varepsilon)$回のグローバル更新で収束を保証するため、$N = \frac{1}{{\varepsilon}}(\|\sum x_i P_i\| + 2\ln n + \ln m)$というしきい値を用いる。
• 各ステップで$\|\sum x_i P_i\|$の増加量を$\mathcal{O}(\varepsilon)$に制限することで、$(1+9\varepsilon)$-近似保証を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幅パラメータに依存しない、混合パッキングおよびカービング半定値計画問題の並列近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 Young（2001）の線形計画法における手法は、ソフト固有値関数とトレースベースのポテンシャル関数を用いて半定値設定に拡張可能か？
• RQ3 JainとYao（2011）と比較して、正定値半定値計画問題の実行時間における$\varepsilon$依存性を改善可能か？
• RQ4 反復的更新において、カービング制約の成長とパッキング制約の増加量の制限との間の最適なトレードオフは何か？
• RQ5 入力サイズに依存しない$\mathrm{polylog}(n,m)$時間で各反復を並列に実装可能か？

主な発見

• アルゴリズムは並列時間$\mathrm{polylog}(n,m) \cdot \frac{1}{{\varepsilon}^4} \cdot \log\frac{1}{{\varepsilon}}$で実行され、可解性問題の$\varepsilon$-近似解を達成する。
• アルゴリズムは$\sum x_i^* P_i \leq (1+9\varepsilon)\mathbb{1}$および$\sum x_i^* C_i \geq \mathbb{1}$を保証し、有効な$\varepsilon$-近似解を提供する。
• 正定値半定値計画問題（Q3）において、JainとYao（2011）と比較して$\varepsilon$依存性が改善され、解析も単純化されている。
• グローバル更新（$g$が増加するステップ）の回数は$\mathcal{O}(N/\varepsilon)$で抑えられ、ここで$N = \mathcal{O}(\frac{\ln(mn)}{{\varepsilon}})$である。
• 固定された$g$における反復回数は$\mathcal{O}(N \log(mN)/\varepsilon)$であり、各ステップは並列で$\mathrm{polylog}(mn)$時間で計算可能である。
• 解析は、行列指数のトレースの上限評価と、和行列のノルムの成長を制御するための固有値のソフト版の使用に依存している。