[論文レビュー] A parametrization of equilateral triangles having integer coordinates

Eugen J. Ionaşcu|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、3次元空間における整数座標を持つ正三角形の完全なパラメータ化を提供し、そのような三角形が存在するための必要十分条件が、整数 $m,n$ に対して $\sqrt{2(m^2 - mn + n^2)}$ の形をした辺長を持つことであることを証明している。さらに、$\mathbb{Z}^3$ 内の正四面体についても特徴づけ、辺長が $k\sqrt{2}$（$k \in \mathbb{N}$）であるときかつそのときに限り存在することを示し、アイゼンシュタイン・ヤコビ整数とディオファントス方程式による法線ベクトルの制約を用いてパラメトリック枠組みを導出している。

ABSTRACT

We study the existence of equilateral triangles of given side lengths and with integer coordinates in dimension three. We show that such a triangle exists if and only if their side lengths are of the form $\sqrt{2(m^2-mn+n^2)}$ for some integers $m,n$. We also show a similar characterization for the sides of a regular tetrahedron in $\Z^3$: such a tetrahedron exists if and only if the sides are of the form $k\sqrt{2}$, for some $k\in\N$. The classification of all the equilateral triangles in $\Z^3$ contained in a given plane is studied and the beginning analysis is presented. A more general parametrization is proven under a special assumption. Some related questions are stated in the end.

研究の動機と目的

• 整数座標を持つ正三角形が $\mathbb{Z}^3$ に存在するための必要十分条件を特定すること。
• アフィン変換による同値類の下でのすべてのこのような三角形の分類と一般パラメータ化の導出。
• $\mathbb{Z}^3$ 内の正四面体への分析を拡張し、その辺長と対称性を特徴づけること。
• 平面に含まれるこのような三角形の法線ベクトルがディオファントス方程式によってどのように制約されるかを明らかにすること。
• 例えば $\mathcal{E}\mathcal{T}(n)$ のような有界な整数グリッド内でのこのような三角形の数を計算する基盤を提供すること。

提案手法

• 整数座標を持つ正三角形を含む平面の法線ベクトル $\vec{n} = (a,b,c)$ に対する必要条件を導出：ある $d \in \mathbb{Z}$ に対して $a^2 + b^2 + c^2 = 3d^2$ が成り立つこと。
• アイゼンシュタイン・ヤコビ整数 $\zeta = m + n\omega$ のノルム $N(\zeta) = m^2 - mn + n^2$ を用いて、辺長を $\sqrt{2N(\zeta)}$ の形でパラメータ表示すること。
• 有理直交変換とアフィン写像を用いて、基本的な配置からすべてのこのような三角形を生成すること。
• 整数性の保証のために、モジュラー算術と補題 6.2 を用いて、ディオファントス制約下でのパラメトリック座標の整数性を証明すること。
• 整数パラメータ $r,s$ を含むディオファントス方程式系の解と、整数座標を持つ正三角形との間の全単射を確立すること。
• 2つの平方数の和のガウスの特徴づけを用いて、法線ベクトル方程式の特定のケースにおいて自明な解が除外されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの辺長 $l$ に対して、$\mathbb{Z}^3$ に頂点を持つ正三角形が存在するか？
• RQ2 アフィン対称性の下での、すべてのこのような三角形の完全なパラメータ化は何か？
• RQ3 $\mathbb{Z}^3$ に頂点を持つ正四面体が存在する条件は何か？
• RQ4 このような三角形を含む平面の法線ベクトルは、ディオファントス方程式によってどのように制約されるか？
• RQ5 ${\mathcal{E}\mathcal{T}}(n)$ として表される $\{0,1,\dots,n\}^3$ 内のこのような三角形の数は、導出されたパラメータ化を用いて、効率的に計算可能か？

主な発見

• 整数座標を持つ正三角形が $\mathbb{Z}^3$ に存在するための必要十分条件は、ある整数 $m,n$ に対して辺長が $\sqrt{2(m^2 - mn + n^2)}$ であること。
• 頂点が $\mathbb{Z}^3$ にある正四面体が存在するための必要十分条件は、その辺長が $k\sqrt{2}$（$k \in \mathbb{N}$）であること。
• 原点を1つの頂点とする辺長 $9\sqrt{2}$ の正四面体は、立方体の対称性を固定する条件下で、ちょうど3つ存在する。
• このような正三角形を含む平面の法線ベクトルは、$a^2 + b^2 + c^2 = 3d^2$ を満たし、$a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ かつ $\gcd(a,b,c)=1$ でなければならない。
• 三角形の頂点のパラメータ表示は、整数パラメータ $r,s$ と法線ベクトル成分によって完全に決定され、導出されたディオファントス条件のもとで整数性が保証される。
• $\{0,1,\dots,n\}^3$ 内のこのような三角形の数を数える列 $\mathcal{E}\mathcal{T}(n)$ は、well-defined であり、$8, 80, 368, 1264, \dots$ で始まり、計算による列挙で34項まで計算されている。