[論文レビュー] A Partial Data Result for the Magnetic Schrodinger Inverse Problem

Francis J. Chung|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、[DKSU] で提起された磁気シュレーディンガー逆問題における部分データ一意性に関する問題を解決する。境界の『表側』の近傍で測定されたディリクレ＝ノイマン写像が、入力関数の台が『裏側』の近傍にある場合に、磁気ポテンシャルおよび電気ポテンシャルを一意に特定できることを示す。逆に、表と裏の役割を入れ替えても同様の結果が成り立ち、幾何的条件下（強凸性など）の下で、測定領域や台の領域を任意に小さくできる。この結果は、擬微分作用素による共役を用いて修正されたカルレマン推定式を応用することで、従来の全データ一意性結果を部分データに拡張したものである。

ABSTRACT

This article shows that knowledge of the Dirichlet-Neumann map on certain subsets of the boundary for input functions supported roughly on the rest of the boundary can be used to determine a magnetic Schrödinger operator. With some geometric conditions on the domain, either the subset on which the DN map is measured or the subset on which the input functions have support may be made arbitrarily small. This is an improvement on the partial data result in a paper by Dos Santos Ferreira, Kenig, Sjöstrand, and Uhlmann. The method involves modifying the Carleman estimate in that paper by conjugation with operators built from pseudodifferential pieces.

研究の動機と目的

• 磁気シュレーディンガー逆問題における部分データ一意性に関する [DKSU] で提起された問題を解決すること。
• 境界の補償部分集合上で定義された関数に制限された、境界近傍でのディリクレ＝ノイマン写像が、磁気ポテンシャルおよび電気ポテンシャルを一意に特定できることを確立すること。
• 強凸性の下で、測定領域やデータの台の領域を任意に小さくできることを示すこと。
• 非磁気の場合の部分データ結果を、磁気シュレーディンガー作用素に拡張するために、洗練された半古典的解析技術を用いること。

提案手法

• 磁気項を扱えるように、[DKSU] のカルレマン推定式を擬微分作用素に類似する作用素による共役を用いて修正する。
• ゲージ変換を用いて、問題を磁気ポテンシャルが調和関数を除いて消去された形に還元する。
• 特定の複素エイコナール方程式を満たす位相関数を持つ複素幾何学的オプティクス解を構成し、近似解を得る。
• 正則関数との積分による双対性論法を用いて、ポテンシャルの差に関する情報を抽出する。
• ストークスの定理および正則関数の性質を用いて、積分恒等式を導出し、ポテンシャルの差が消えることを強制する。
• 原点を通る平面に沿ったスライシング論法を用いて、磁気1形式の差がほとんど everywhere で消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の部分集合でのディリクレ＝ノイマン写像および補償部分集合でのデータの台が与えられた場合、磁気シュレーディンガー逆問題における部分データ一意性結果を拡張できるか？
• RQ2 領域の幾何的条件下で、測定領域やデータの台の領域を任意に小さくできるか？
• RQ3 修正されたカルレマン推定式を用いて、部分的境界情報から磁気ポテンシャルおよび電気ポテンシャルを回復できるか？
• RQ4 ディリクレ＝ノイマン写像のゲージ不変性が部分データ回復に与える影響は何か？そして、共役技術によってこれを克服できるか？
• RQ5 非磁気の場合に用いられた手法を磁気設定に適応し、同様の部分データ一意性を達成できるか？

主な発見

• 強凸性が成立する領域において、境界の『表側』の近傍で測定されたディリクレ＝ノイマン写像が、入力関数の台が『裏側』の近傍にある場合に、磁気ポテンシャルおよび電気ポテンシャルを一意に特定できる。
• 表と裏の役割を入れ替えても同様の結果が成り立ち、部分データ設定において対称性が示された。
• 強凸性の下で、測定領域や台の領域を任意に小さくできるため、最小限の境界アクセスでも結果が成立する。
• 正則関数によるテスト関数と平面に沿ったスライシングにより導かれた積分恒等式から、磁気ポテンシャルの差がほとんど everywhere で消えることが示され、$ dW_1 = dW_2 $ が成り立つ。
• 正則関数を用いた双対性論法および位相関数の構造を適用することで、電気ポテンシャルの差がほとんど everywhere で消えることが示され、$ q_1 = q_2 $ が成り立つ。
• 証明は、擬微分作用素に類する作用素による共役を施した修正カルレマン推定式に依存しており、逆問題における磁気項の制御を可能にしている。