[論文レビュー] A permuted random walk exits faster

Richard Pymar, Perla Sousi|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、状態空間 {0, ..., n} 上の入れ替えられたランダムウォークを研究しており、遷移は状態の置換 σ によって決定される。0 から出発する際に、n に到達するまでの期待 hitting 時間を最大化する置換 σ として、恒等置換が最適であり、その最大期待時間は n² + n であると証明している。この結果は、すべての頂点の in-degree と out-degree が等しい強連結な d-正則有向グラフへと一般化され、自己ループを含むライングラフ L(d,n) が、すべてのこのようなグラフの中で hitting 時間を最大にすることが示された。

ABSTRACT

Let $σ$ be a permutation of $\{0,\ldots,n\}$. We consider the Markov chain $X$ which jumps from $k eq 0,n$ to $σ(k+1)$ or $σ(k-1)$, equally likely. When $X$ is at 0 it jumps to either $σ(0)$ or $σ(1)$ equally likely, and when $X$ is at $n$ it jumps to either $σ(n)$ or $σ(n-1)$, equally likely. We show that the identity permutation maximizes the expected hitting time of n, when the walk starts at 0. More generally, we prove that the hitting time of a random walk on a strongly connected $d$-directed graph is maximized when the graph is the line $[0,n]\cap\Z$ with $d-2$ self-loops at every vertex and $d-1$ self-loops at 0 and $n$.

研究の動機と目的

• 置換 σ が与えられたマコフ連鎖において、状態 0 から出発する際に状態 n に到達するまでの期待 hitting 時間を最大にする置換 σ を特定すること。
• 恒等置換が 0 から n への出口時間（つまり、期待 hitting 時間が最大）をもたらすことを確立すること。
• すべての頂点の in-degree と out-degree が等しく d ≥ 2 である強連結有向グラフに対して、この結果を一般化すること。
• すべての d-正則有向グラフの中で、ライングラフ L(d,n)（両端点に d−1 個の自己ループ、それ以外に d−2 個の自己ループ）が hitting 時間を最大にすることを示すこと。

提案手法

• 境界条件を考慮した k からの遷移が σ(k±1) に依存する有向グラフ上のマコフ連鎖として、入れ替えられたランダムウォークをモデル化する。
• すべての頂点の in-degree と out-degree が d = 2 である強連結有向グラフ上の単純ランダムウォークとしてプロセスを表現する。
• d-正則有向グラフに関する一般定理（定理 1.4）を適用して、期待 hitting 時間の上限を求める。
• 戻り時間と hitting 時間の上限を求めるために、Eulerian 性質、仮想的辺の拡張、定常分布の議論といったグラフ理論的道具を用いる。
• 定理 1.4 の上限が、d=2 の場合に恒等置換に対応するグラフ L(d,n) のみで達成されることを証明する。
• 部分グラフにおける帰納法と構造的解析を用いて、L(d,n) の構造から逸脱する任何の構造が、期待 hitting 時間を厳密に減少させることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入れ替えられたランダムウォークにおいて、状態 0 から出発する際に、任意の置換 σ に対して、状態 n に到達するまでの期待 hitting 時間を最大にする置換 σ は何か？
• RQ2 このモデルにおいて、恒等置換は期待 hitting 時間を最大にする唯一の置換か？
• RQ3 一般に、すべての頂点の in-degree と out-degree が等しい d-正則強連結有向グラフに対して、どの構造が二つの頂点間の期待 hitting 時間を最大にするか？
• RQ4 適切な自己ループを備えたライングラフ L(d,n) は、すべてのこのようなグラフの中で最大の期待 hitting 時間を達成するか？
• RQ5 ターゲット集合が単一の端点ではなく {−n, n} の場合、期待 hitting 時間はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の置換 σ に対して、期待 hitting 時間 E₀[τₙ] は n² + n で上から抑えられる。
• E₀[τₙ] = n² + n であることは、σ が恒等置換であるときにかつそのときに限り成立する。
• 一般に、すべての頂点の in-degree と out-degree が等しい d-正則強連結有向グラフに対して、任意の二頂点間の最大期待 hitting 時間は (d/2)n(n+1) で上から抑えられる。
• この上限は、グラフが L(d,n) に同型であるときにかつそのときに限り達成される（0 と n に d−1 個の自己ループ、それ以外に d−2 個の自己ループを含む）。
• 入れ替えられたランダムウォークは、2-正則有向グラフ上の単純ランダムウォークとして埋め込むことができ、これにより定理 1.4 の適用が可能になる。
• ターゲット集合が {−n, n} の対称的な場合、恒等置換は一意の最大化者ではない。σ(x) = −x などの他の置換も高い hitting 時間を達成する。