[論文レビュー] A phase-field approach for the interface reconstruction in a nonlinear elliptic problem arising from cardiac electrophysiology

Elena Beretta, Luca Ratti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、心臓電気生理学に由来する非線形楕円型偏微分方程式において、不連続な電導度インクルージョンを再構成するためのフェーズフィールド正則化法を提案する。境界測定値から得られるデータを用いて、境界の断面積ペナルティをギンツブルグ＝ランダウ型エネルギーに置き換えることで、緩和された汎関数のΓ収束を証明し、フレシュェット微分を用いて最適性条件を導出し、収束する反復的アルゴリズムを実装した。この手法により、任意の形状のインクルージョンを成功裏に同定できる。

ABSTRACT

In this work we tackle the reconstruction of discontinuous coefficients in a semilinear elliptic equation from the knowledge of the solution on the boundary of the domain, an inverse problem motivated by biological application in cardiac electrophysiology. We formulate a constraint minimization problem involving a quadratic mismatch functional enhanced with a regularization term which penalizes the perimeter of the inclusion to be identified. We introduce a phase-field relaxation of the problem, replacing the perimeter term with a Ginzburg-Landau-type energy. We prove the $Γ$-convergence of the relaxed functional to the original one (which implies the convergence of the minimizers), we compute the optimality conditions of the phase-field problem and define a reconstruction algorithm based on the use of the Frèchet derivative of the functional. After introducing a discrete version of the problem we implement an iterative algorithm and prove convergence properties. Several numerical results are reported, assessing the effectiveness and the robustness of the algorihtm in identifying arbitrarily-shaped inclusions. Finally, we compare our approach to a shape derivative based technique, both from a theoretical point of view (computing the sharp interface limit of the optimality conditions) and from a numerical one.

研究の動機と目的

• 境界測定値から得られる半線形楕円型偏微分方程式における不連続な電導度インクルージョンを同定する逆問題に対処すること。心臓電気生理学に由来する動機付けを有する。
• 不連続係数を有する逆係数問題における非線形性と測定値の不足という課題を克服すること。
• 任意の形状のインクルージョンを同定できる、頑健な再構成アルゴリズムの開発。特に、小さなまたは不規則な形状のインクルージョンに対しても有効である。
• フェーズフィールド緩和が元の問題にΓ収束することを確立すること。
• 理論的（シャープインターフェース極限）および数値的（数値実験）に、フェーズフィールド法と形状微分に基づく手法を比較すること。

提案手法

• 二次誤差関数に境界の断面積正則化項を追加した制約付き最小化問題として逆問題を定式化し、滑らかな界面を促進する。
• 境界の断面積項をギンツブルグ＝ランダウ型エネルギーに置き換えることでフェーズフィールド緩和を導入し、滑らかな最適化問題に変換する。
• 緩和された汎関数が元の汎関数にΓ収束することを証明し、フェーズフィールドパラメータが0に近づく際の最小化子の収束を保証する。
• 汎関数のフレシュェット微分を用いて、フェーズフィールド問題の一次最適性条件を導出する。
• フェーズフィールド問題を離散化し、最適性条件に基づく反復的勾配降下法を実装して数値解を得る。
• さまざまなインクルージョンの幾何形状に対して数値的妥当性を検証し、形状微分に基づく再構成手法と性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 限られた境界データを有する非線形楕円型偏微分方程式において、フェーズフィールド法が不連続なインクルージョンを効果的に再構成できるか？
• RQ2 フェーズフィールド緩和のΓ収束が、元の逆問題の真の解に最小化子が収束することを保証するか？
• RQ3 任意の形状のインクルージョンを同定する観点から、フェーズフィールド法と形状微分に基づく手法の精度および頑健性はどのように比較できるか？
• RQ4 フェーズフィールド定式化から導かれた最適性条件のシャープインターフェース極限は何か？
• RQ5 非線形設定下で、境界測定値から小さなまたは不規則な形状のインクルージョンを、提案されたアルゴリズムが信頼性高く再構成できるか？

主な発見

• 境界の断面積正則化項のフェーズフィールド緩和により、滑らかで微分可能な汎関数が得られ、勾配ベースの最適化手法による効率的な数値最適化が可能になる。
• 緩和された汎関数が元の汎関数にΓ収束することを厳密に証明し、フェーズフィールドパラメータが0に近づく際、最小化子が元の問題の最小化子に収束することを保証する。
• フレシュェット微分を用いてフェーズフィールド問題の最適性条件を導出し、収束する反復的再構成アルゴリズムの設計が可能になった。
• 数値結果により、任意の形状のインクルージョンを、ノイズや限られたデータが存在する状況下でも、本手法の有効性と頑健性が示された。
• 形状微分に基づく手法との比較において、フェーズフィールド法は、特に非凸または複雑な幾何形状に対して、同等または優れた精度を示した。
• 理論的解析により、フェーズフィールド最適性条件のシャープインターフェース極限が、期待される形状微分条件と一致することが確認され、手法の整合性が裏付けられた。