[論文レビュー] A Pieri-Chevalley formula for K(G/B)

Harsh Pittie, Arun Ram|ArXiv.org|Jan 23, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素単純リー群 $G$ のフラッグ多様体 $G/B$ のK理論において、一般化されたPieri-Chevalley公式を確立し、Schubert類 $[\mathcal{O}_{X_v}]$ を用いた $e^{\tau}["]\mathcal{O}_{X_w}]$ の組み合わせ的展開を提供する。テーブュックスの代わりにLittelmannのパスモデルを用いることで、FultonとLascouxの先行結果を任意のリー型に一般化し、チャーン類の作用を通じてChevalleyの古典的コホモロジー公式を回復する。

ABSTRACT

The ring K(G/B) is isomorphic to a quotient of a Laurent polynomial ring by an ideal generated by certain W-symmetric functions and has a basis given by classes O_w, where O_w is the class of the structure sheaf of the Schubert variety X_w. In this paper we give an explicit combinatorial formula for the tensor product of a (negative) line bundle with the structure sheaf of a Schubert variety, expanded in terms of the Schubert class basis O_w. Chevalley's classical formula for the class of a hyperplane section of a Schubert variety in H^*(G/B) can be recovered from our formula by applying the Chern character and comparing lowest degree terms. The higher order terms of our formula may yield further interesting identities in cohomology. Fulton and Lascoux have given a formula similar to ours for the GL_n(C) case. Our formula is a generalization of their formula to general type. In our work the column strict tableaux used by Fulton and Lascoux are replaced by Littelmann's path model.

研究の動機と目的

• フラッグ多様体 $G/B$ のK理論において、$GL_n$ の場合に限らない複素単純リー群 $G$ に対するPieri-Chevalley公式を一般化すること。
• テーブルックスと jeu de taquin の組み合わせ的道具を、すべてのリー型に一様に適用可能なLittelmannのパスモデルに置き換えること。
• $K(G/B)$ におけるラインバンドとSchubert類の間の交換関係を確立し、$e^{\tau}[\mathcal{O}_{X_w}]$ の明示的公式を導出すること。
• チャーン類が $K(G/B)$ を $H^*(G/B)$ に接続する方法を示し、その最低次の項がChevalleyの古典的公式を回復することを示すこと。

提案手法

• 最大トーラス $T$ の表現環 $R(T)$ と $W$-不変で定数項のない関数によって生成されるイデアル $\mathcal{I}$ を用いて、同型 $K(G/B) \cong R(T)/\mathcal{I}$ を用いる。
• Schubert類 $[\mathcal{O}_{X_w}]$ を、$X_w \subseteq G/B$ に含まれるSchubert多様体の構造層として定義し、$K(G/B)$ の基底をなす。
• 各 $P^1$-バンドル $f_\alpha: G/B \to G/P_\alpha$ 沿いのプッシュプル構成により、$K(G/B)$ 上に作用する作用素 $T_\alpha$ を定義する。$T_\alpha(x) = (f_\alpha)^! (f_\alpha)_!(x)$ である。
• 作用素 $T_\alpha$ とSchubert類の間の交換関係を導出し、主要な公式 $e^{\tau}[\mathcal{O}_{X_w}] = \sum_{\eta \in \mathcal{T}^{\tau}_w} [\mathcal{O}_{X_{v(\eta,w)}}]$ を得る。
• チャーン類を用いて $K(G/B)$ と $H^*(G/B)$ を関連付け、公式の最低次の項がコホモロジーにおけるChevalleyの古典的公式を回復することを示す。
• Grothendieck-Riemann-Roch定理を用いて、$K$-理論的作用素 $T_\alpha$ とコホモロジー的作用素 $\partial_\alpha$ の関係を確立し、$K$-理論とコホモロジーの間の辞書を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$K(G/B)$ におけるPieri-Chevalley公式を $GL_n$ の場合に限らず、任意の複素単純リー群に一般化できるか？
• RQ2 テーブルックスに基づく手法を代替する、すべてのリー型に一様に適用可能な組み合わせ的モデルは何か？
• RQ3 チャーン類は、$K$-理論的Pieri公式をどのようにしてコホモロジーにおける古典的Chevalley公式に変換するか？
• RQ4 $K$-理論的作用素 $T_\alpha$ とコホモロジー的作用素 $\partial_\alpha$ の正確な関係は何か？
• RQ5 テーブルックスの正規化の代わりに、Littelmannのパスモデルを用いることで、$K(G/B)$ の構造を完全に記述できるか？

主な発見

• 論文は、$K(G/B)$ における一般化されたPieri-Chevalley公式を確立した：$e^{\tau}[\mathcal{O}_{X_w}] = \sum_{\eta \in \mathcal{T}^{\tau}_w} [\mathcal{O}_{X_{v(\eta,w)}}]$。ここで $\mathcal{T}^{\tau}_w$ は、$e^{\tau}$ がSchubert類に作用する組み合わせ的構造を符号化するパスの集合である。
• この公式は、$K$-理論的作用素 $T_\alpha$ とSchubert類の間の交換関係から導出され、BGG関係が$K$-理論に一般化されたものである。
• Littelmannのパスモデルを用いることで、jeu de taquin や正規化といった複雑な組み合わせ的道具の必要性を回避でき、任意のリー型への一般化が簡素化された。
• $K$-理論的公式にチャーン類を適用することで、コホモロジーにおけるChevalleyの古典的公式が回復される：$\lambda \cdot [X_w] = \sum_{v \to w} \langle \lambda, \alpha^\vee \rangle [X_v]$。ここで $v = s_\alpha w$ かつ $\ell(v) = \ell(w) - 1$ である。
• $T_\alpha$ と $\partial_\alpha$ の間には、$\mathrm{ch}(T_\alpha(x)) = \partial_\alpha(\mathrm{ch}(x) \cdot \frac{\alpha}{1 - e^{-\alpha}})$ という明確な関係がある。これは、$K$-理論とコホモロジーの間の正確な接続を示している。
• この公式により、$G/B$ の$K$-理論が、$W$-不変で定数項のない関数から生成されるイデアルによる、$R(T)$ のラテン多項式環の商に同型であることが確認され、Schubert類が基底をなすことが示された。