[論文レビュー] A posteriori error estimates for fully coupled McKean-Vlasov forward-backward SDEs

Christoph Reisinger, Wolfgang Stockinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、完全に結合された McKean-Vlasov 前向き後向き SDE（MV-FBSDE）の残差に基づく事後誤差推定器を提案する。この推定器は、与えられた離散的近似が時間グリッド上で元の SDE システムをどの程度満たしているかを測ることで、数値解の L2 近似誤差を定量化する。主な貢献は、この推定器が前向きオイラー離散化のグローバル誤差と等価であることを証明し、オイラースキームの安定性を確立することで、平均場制御およびゲーム問題における残差に基づくアルゴリズムの使用を検証することにある。

ABSTRACT

Fully coupled McKean-Vlasov forward-backward stochastic differential equations (MV-FBSDEs) arise naturally from large population optimization problems. Judging the quality of given numerical solutions for MV-FBSDEs, which usually require Picard iterations and approximations of nested conditional expectations, is typically difficult. This paper proposes an a posteriori error estimator to quantify the $L^2$-approximation error of an arbitrarily generated approximation on a time grid. We establish that the error estimator is equivalent to the global approximation error between the given numerical solution and the solution of a forward Euler discretized MV-FBSDE. A crucial and challenging step in the analysis is the proof of stability of this Euler approximation to the MV-FBSDE, which is of independent interest. We further demonstrate that, for sufficiently fine time grids, the accuracy of numerical solutions for solving the continuous MV-FBSDE can also be measured by the error estimator. The error estimates justify the use of residual-based algorithms for solving MV-FBSDEs. Numerical experiments for MV-FBSDEs arising from mean field control and games confirm the effectiveness and practical applicability of the error estimator.

研究の動機と目的

• 完全に結合された McKean-Vlasov 前向き後向き SDE（MV-FBSDE）の数値解に対する信頼性のある誤差評価の欠如に取り組むこと。MV-FBSDE は平均場制御およびゲーム理論の中心的役割を果たす。
• 与えられた数値解の時間グリッド上での L2 近似誤差を定量化する、計算可能な残差に基づく事後誤差推定器を構築すること。
• MV-FBSDE の前向きオイラー離散化の安定性を確立すること。これは誤差解析において重要なが、困難なステップである。
• 解析的解が得られない高次元の前処理限界設定において、有限の計算リソースのもとで、誤差推定器が数値解の精度を信頼性高く評価できることを示すこと。
• 平均場制御およびゲーム問題から生じる MV-FBSDE に対する数値実験を通じて、誤差推定器の実用的有用性を検証すること。

提案手法

• 誤差推定器は、時間グリッド上で評価された前向きおよび後向き SDE の残差の和として定義され、SDE の動的性および終端条件の違反を測定する。
• MV-FBSDE の離散時間近似を用いて構築され、予測された増分と実際の増分の間の時間積分された二乗差分によって残差が計算される。
• 離散化および条件付き期待値の近似に起因する誤差項を抑え込むために、伊藤の等長性、ヤングの不等式およびホルダーの不等式、およびグローバルの不等式を用いた解析が行われる。
• 生成子およびその微分の標準的な正則性および連続性仮定の下で、オイラー離散化の安定性が証明され、これは独立に価値のある結果である。
• 推定器が、与えられた数値解とオイラー離散化された MV-FBSDE の解との間のグローバル L2 誤差と等価であることが示される。
• 本手法は、任意の時間ステッピングスキーム、条件付き期待値の数値的手法、ブラウン運動増分の近似に適用可能であり、広範な応用性を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に結合された MV-FBSDE に対して、計算可能で残差に基づく事後誤差推定器を構築でき、真の近似誤差を正確に反映できるか？
• RQ2 提案された誤差推定器は、数値解とオイラー離散化された MV-FBSDE の解との間のグローバル L2 誤差と等価か？
• RQ3 MV-FBSDE の前向きオイラースキームの安定性は、一般的な条件下で成立するか？ これにより、厳密な誤差解析が可能になる。
• RQ4 解析的解が得られない高次元の前処理限界設定において、誤差推定器は数値解の精度を信頼性高く評価できるか？
• RQ5 誤差推定器は、平均場制御およびゲーム問題における数値アルゴリズム（例：Deep BSDE ソルバー）の誘導および検証にどの程度有効か？

主な発見

• 提案された事後誤差推定器は、与えられた数値解と MV-FBSDE の前向きオイラー離散化の解との間のグローバル L2 近似誤差と等価であることが証明された。
• 生成子およびその微分の標準的な正則性および連続性仮定の下で、完全に結合された MV-FBSDE の前向きオイラースキームの安定性が厳密に確立された。
• 十分に細かい時間グリッドに対しては、誤差推定器は連続的な MV-FBSDE に対する数値解の精度を測定する役割も果たすことが示され、実用的計算における使用を正当化する。
• 誤差推定器は、時間ステッピングスキーム、条件付き期待値の近似法、ブラウン運動増分の離散化の選択に対してロバストであるため、広範な適用性を持つ。
• 数値実験により、平均場制御およびゲーム問題から生じる MV-FBSDE の解の品質評価において、誤差推定器の有効性が確認された。
• 理論的枠組みは、特に従来の誤差制御が非現実的となる高次元設定において、MV-FBSDE を解くための残差に基づくアルゴリズムの使用を支援する。