[論文レビュー] A presentation for the mapping class group of a non-orientable surface from the action on the complex of curves

Błażej Szepietowski|Osaka City University (Osaka City University)|Jul 18, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、曲線複体への作用を用いて、非可定向な曲面の写像類群の有限群提示を提示する。Brownの手法を順序付き曲線複体に適用し、単体の安定化部分群を分析することで、ランタン関係およびY-同相関係を含む明示的な生成元と関係式を持つ提示を導出する。これは、散発的でない曲面に対して有効である。主な結果は、ドレイン回転とクロスキャップスライドを用いた、写像類群の完全な有限提示である。

ABSTRACT

We study the action of the mapping class group M(F) on the complex of curves of a non-orientable surface F. We obtain, by using a result of K. S. Brown, a presentation for M(F) defined in terms of the mapping class groups of the complementary surfaces of collections of curves, provided that F is not sporadic, i.e. the complex of curves of F is simply connected. We also compute a finite presentation for the mapping class group of each sporadic surface.

研究の動機と目的

• BenvenutiとBrownの手法を非可定向の場合に拡張し、群提示を構成すること。
• 写像類群が曲線複体に作用することを用いて、非可定向曲面の写像類群の構造を特定すること。
• 写像類群の作用における曲線の軌道を分類し、分離・非分離、片側・両側、可定向／非可定向成分を区別すること。
• 順序付き曲線族の安定化部分群とHurewicz–Heller–Shelahの手法を用いて、写像類群の有限提示を導出すること。

提案手法

• 曲線複体 $\mathcal{C}(F)$ が単連結であるとき、順序付き曲線複体 $\mathcal{C}^{\mathrm{ord}}(F)$ にBrownの手法を適用する。
• 軌道空間 $X = \mathcal{C}^{\mathrm{ord}}(F)/\mathcal{M}(F)$ を、$\mathcal{M}(F)$-軌道に一致するセルを持つ有限CW複体として定義する。
• 順序付き曲線族 $\langle a_1,\dots,a_r\rangle$ の安定化部分群 $\mathrm{Stab}(\langle a_1,\dots,a_r\rangle)$ を用いて群作用を分析し、関係式を構成する。
• Hurewicz–Heller–Shelahの手法を適用し、軌道空間の基本群から写像類群への関係式を上昇させる。
• 生成元をドレイン回転とクロスキャップスライド（例：$A_1$, $U$）として特定し、関係式をランタン関係および共役関係（例：$UA_1U^{-1} = A_1^{-1}$）として特定する。
• 境界付き曲面への幾何的埋め込みとペア・オブ・パンツ分解を用いて、提示内のすべての関係式が $\mathcal{M}(F)$ で満たされることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可定向曲面の写像類群は、その曲線複体への作用を用いてどのように提示できるか？
• RQ2 境界付き非可定向曲面における曲線複体の頂点および単体の $\mathcal{M}(F)$-軌道は何か？
• RQ3 ランタン関係や共役関係などのどの関係式が非可定向な場合の写像類群の構造を支配するか？
• RQ4 順序付き曲線族の安定化部分群は、写像類群全体の構造とどのように関係するか？
• RQ5 散発的でない非可定向曲面の写像類群の有限提示は何か？

主な発見

• 非可定向曲面 $F = F_g^n$ の写像類群 $\mathcal{M}(F)$ は、$F$ が散発的でない場合、すなわち $(g,n) \notin \{(1,n)\leq4\} \cup \{(2,n)\leq3\} \cup \{(3,n)\leq2\}$ のとき、有限提示をもつ。
• 散発的でない曲面では、曲線複体 $\mathcal{C}(F)$ は単連結であり、これにより軌道空間 $X = \mathcal{C}^{\mathrm{ord}}(F)/\mathcal{M}(F)$ は基本群が明確に定義された有限CW複体である。
• 写像類群 $\mathcal{M}(F)$ はドレイン回転とクロスキャップスライドによって生成され、ランタン関係および共役関係を含む10の特定の関係式（1–10）を持つ提示を持つ。
• 境界成分が1つのクラインボトル（$F_2^1$）では、写像類群はドレイン回転 $A_1$ と同相変換 $U$ によって生成され、$UA_1U^{-1} = A_1^{-1}$ を満たし、有限提示を得る。
• 軌道空間の基本群から $\mathcal{M}(F)$ への写像の核は中心的であり、群は $\mathbb{Z}^4 \times G$ に分解され、ここで $G$ は10の関係式によって定義される群である。
• すべての関係式（1–10）は、4個の穴または境界成分を持つ曲面への埋め込みを通じて幾何的に実現され、写像類群内での有効性が確認される。