[論文レビュー] A presentation of the deformed W_{1+\infty} algebra

Noah Arbesfeld, Olivier Schiffmann|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子 affine 代数の Drinfeld の新しい提示に類似した新しい実現を用いて、変形 $W_{1+\infty}$ 代数 $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ の生成子と関係式による記述を提供する。主な結果として、$\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ が次数 $-1$, $0$, $1$ の元によって生成され、明示的な二次および三次関係式を満たすことが示され、以前は Cherednik 代数の安定極限のみで定義されていた構造に対して完全な代数的記述が得られる。

ABSTRACT

We provide a generators and relation description of the deformed W_{1+\infty}-algebra introduced in previous joint work of E. Vasserot and the second author. This gives a presentation of the (spherical) cohomological Hall algebra of the one-loop quiver, or alternatively of the spherical degenerate double affine Hecke algebra of GL(\infty).

研究の動機と目的

• 変形 $W_{1+\infty}$ 代数 $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ に対して、以前は安定極限構成でのみ定義されていた明確な生成子と関係式の提示を提供すること。
• 次数 $-1$, $0$, $1$ における明示的な生成子と関係式を同定することで、$\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ の代数的構造を明確化すること。
• $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ が一重ループクウェーバーの球面コhomological Hall代数および $GL(\infty)$ の球面退化双有理ヘッケ代数と同型であることを確立すること。
• $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ の関数付き代数が特定の生成子に関する自由多項式代数と同型であることを示し、graded 限界における生成子の代数的独立性を確認すること。
• $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ がフィルトレーションを備えており、関数付き代数が自由可換代数と同型であることを示し、構造的分類を可能にすること。

提案手法

• $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ を $\text{Sym}(\text{C}^*)$ 上の自己準同型の代数 $\text{End}(\text{Sym}(\text{C}^*))$ の部分代数として定義し、微分作用素 $D_{0,l}$, $D_{1,k}$, および $r \ne 0$ に対して $D_{r,d} = [D_{0,d+1}, D_{r,0}]$ を用いる。
• 次数 $0$ を $D_{0,l}$ に、次数 $1$ を $D_{1,k}$ に割り当て、高次の $r$ については反復括弧作用素を用いて拡張する。
• 微分作用素の次数に由来するフィルトレーションを導入し、$(d+1)$ 重の随伴作用の消失によって特徴づける。
• 関数付き代数の基底を構成するために、生成子 $D'_{r,d} = \text{ad}(D_{0,2})^d(D_{r,0})$ を定義する。
• $gr\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ が $r \ne 0$, $d \ne 0$ の生成子 $D'_{r,d}$ に関して自由多項式代数と同型であることを証明する。
• 括弧作用の関係と、交換関係式から導かれる行列系の可逆性を用いた線形代数的考察により、次数とランクに関する帰納法を用いて同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形 $W_{1+\infty}$ 代数 $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ は、以前は Cherednik 代数の安定極限によってのみ定義されていたが、生成子と関係式を明示的に提示できるか？
• RQ2 $\text{Sym}(\text{C}^*)$ 上の微分作用素としての $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ の正確な生成子と関係式は何か？
• RQ3 $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ の関数付き代数は、生成子 $D'_{r,d}$ に関する自由多項式代数とどのように関係するか？
• RQ4 生成子 $D_{r,0}$ と $D_{0,l}$ 間の交換関係は、graded 限界における可換性を要請する $[\tilde{D}_{l,0}, \tilde{D}_{l',0}] = 0$ を示すか？
• RQ5 抽象代数 $\tilde{\textbf{S}\textbf{H}}^{\textbf{c}}$ から $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ への写像は同型であり、フィルトレーションおよび次数構造を保存するか？

主な発見

• $\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ は次数 $-1$, $0$, $1$ の生成子によって、明示的な二次および三次関係式を満たすことで提示可能である。
• $gr\textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ は、$r \ne 0$, $d \ne 0$ の生成子 $D'_{r,d} = \text{ad}(D_{0,2})^d(D_{r,0})$ に関して自由可換多項式代数と同型である。
• $\tilde{\textbf{S}\textbf{H}}^{\textbf{c}} \to \textbf{S}\textbf{H}^{\textbf{c}}$ の写像は、ランクと次数に関する帰納法により、フィルター付き代数の同型であることが示された。
• $[\tilde{D}_{l,0}, \tilde{D}_{l',0}] = 0$ は、すべての $l, l'$ に対して成り立ち、関係式 (4.5) および (4.6) と高次の随伴作用の消失から導かれる。
• $U_{r,d} = gr\tilde{\textbf{S}\textbf{H}}^{\textbf{c}}[r,d] / \text{products}$ は一様次元であり、$\tilde{D}'_{r,d}$ で張られる。これにより、各次数でこれらの要素が代数を生成することが証明された。
• 証明は、可逆行列 $M$ を持つ線形方程式系に依拠しており、$U_{r,d}$ 内のすべての括弧作用クラスが $\tilde{D}'_{r,d}$ の張る空間に属することを示し、関数付き代数の構造が確認された。