[論文レビュー] A probabilistic approach to Dirac concentration in nonlocal models of adaptation with several resources

Nicolas Champagnat, Benoît Henry|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複数のリソースを伴う非局所的自己適応ダイナミクスモデルにおけるディラック濃縮を分析するための確率的枠組みを構築し、フェインマン＝カック表現とバーダハンの補題を用いて、ε log u^ε の極限に対する変分問題を導出する。主な貢献は、連続的および有限表現型空間における不規則なハミルトニアンを有するハミルトニアン＝ヤコビ方程式の解の正則性および一意性を証明することであり、従来の解析的手法を超えて、多リソース系へと拡張する。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of scaling limits in small mutations and large time of the solutions u^$\\epsilon$ of two deterministic models of phenotypic adaptation, where the parameter $\\epsilon$ > 0 scales the size of mutations. The first model is the so-called Lotka-Volterra parabolic PDE in R d with an arbitrary number of resources and the second one is an adaptation of the first model to a finite phenotype space. The solutions of such systems typically concentrate as Dirac masses in the limit $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0. Our main results are, in both cases, the representation of the limits of $\\epsilon$ log u^$\\epsilon$ as solutions of variational problems and regularity results for these limits. The method mainly relies on Feynman-Kac type representations of u $\\epsilon$ and Varadhan's Lemma. Our probabilistic approach applies to multi-resources situations not covered by standard analytical methods and makes the link between variational limit problems and Hamilton-Jacobi equations with irregular Hamiltonians that arise naturally from analytical methods. The finite case presents substantial difficulties since the rate function of the associated large deviation principle has non-compact level sets. In that case, we are also able to obtain uniqueness of the solution of the variational problem and of the associated differential problem which can be interpreted as a Hamilton-Jacobi equation in finite state space.

研究の動機と目的

• 微小な変異と長時間のスケーリング極限における表現型適応モデルの極限を調べること。特に ε → 0 のときのディラック濃縮に注目する。
• 進化的分岐が生じ得る多リソース系（r ≥ 2）において、ハミルトニアン＝ヤコビ方程式に関する解析的結果を拡張すること。
• 連続的および有限表現型空間の両方において、ε log u^ε の極限の正則性および一意性を確立すること。
• 非滑らか状態における、確率的手法（フェインマン＝カック、大偏差）と変分的・ハミルトニアン＝ヤコビ的定式化を橋渡しすること。
• 有限表現型空間における課題を解決すること、特にレート関数の非コンパクトなレベル集合が生じる場合に備える。

提案手法

• 放物型偏微分方程式をハミルトニアン＝ヤコビ型問題に変換するために、WKBアンザッツ u^ε(t,x) = exp(φ^ε(t,x)/ε) を用いる。
• u^ε を確率的に表現するためのフェインマン＝カック表現を適用し、大偏差原理の適用を可能にする。
• バーダハンの補題を用いて、ε log u^ε の極限を変分問題の解として同定する。
• 動的プログラミング原理を用いて変分問題を分析し、不規則なハミルトニアンを有するハミルトニアン＝ヤコビ方程式の解として極限を特徴付ける。
• 初期条件を修正し、ジャンプダイナミクスを分析することで、有限表現型の場合の解の一意性および正則性を確立する。
• 時間連続および時間離散の定式化を用いて、有限状態空間におけるハミルトニアン＝ヤコビ方程式を導出し、変分問題と同等であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のリソースが存在する中で、非局所的ロトカ＝ヴォルテラ偏微分方程式の解 u^ε は ε → 0 のときどのように濃縮するか？
• RQ2 標準的な解析的手法が失敗する多リソース系において、確率的アプローチが ε log u^ε の極限の変分的特徴付けを提供できるか？
• RQ3 レート関数の非コンパクトなレベル集合を有する有限表現型空間において、極限関数 φ の正則性および一意性の性質は何か？
• RQ4 不規則なハミルトニアンを有するハミルトニアン＝ヤコビ方程式は、大偏差原理から生じる変分問題とどのように関係しているか？
• RQ5 有限状態の場合に、極限測度の台のダイナミクスとハミルトニアン＝ヤコビ方程式の解との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• ε log u^ε の極限は、一意な変分問題の解として特徴付けられ、これは不規則なハミルトニアンを有するハミルトニアン＝ヤコビ方程式と同等である。
• 連続的表現型空間では、極限関数 φ はハミルトニアン＝ヤコビ方程式 ∂tφ = R(x,vt) + ½|∇φ|² を満たし、制約 sup φ(t,·) = 0 を満たす。
• 有限表現型空間では、変分問題の解 V は離散的ハミルトニアン＝ヤコビ方程式 (8.9) を満たし、適切な初期条件のもとで一意解を有する。
• 初期条件 h(i) が不等式 h(i) ≤ h(j) + T(i,j) を満たさない場合であっても、有限ケースにおける変分問題の解の一意性が確立される。
• 解 V は時間に関して右連続であり、極限測度 μt の台は V(t,·) = 0 となる集合に含まれる。
• 極限測度の台のダイナミクスは、台上で R(x,vt) ≤ 0 かつ R(x,vt) = 0 が成り立つ条件によって支配され、これにより準安定性が保証される。