[论文解读] A Probability Monad as the Colimit of Finite Powers

T. A. Fritz, Paolo Perrone|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文在具有有限一阶矩的完备度量空间上引入了一个Kantorovich单子，其定义为有限次幂的余上确界，为积分与概率提供了无测度的基础。它证明了该单子的代数与巴拿赫空间中的闭凸子集通过短仿射映射等价，推广了van Breugel的工作，并实现了概率的纯粹范畴论处理。

ABSTRACT

We define a monad on the category of complete metric spaces with short maps, which assigns to each space the space of Radon probability measures on it with finite first moment, equipped with the Kantorovich--Wasserstein distance. It is analogous to the Giry monad on the category of Polish spaces, and it extends a construction due to van Breugel for compact and for 1-bounded complete metric spaces. We prove that this Kantorovich monad arises from a colimit construction on finite powers, which formalizes the intuition that probability measures are limits of finite samples. The proof relies on a new criterion for when an ordinary left Kan extension of lax monoidal functors is a monoidal Kan extension. This colimit characterization allows for the development of integration theory and other things, such as the treatment of measures on spaces of measures, completely without measure theory. We also show that the category of algebras of the Kantorovich monad is equivalent to the category of closed convex subsets of Banach spaces with short affine maps as the morphisms.

研究动机与目标

• 在具有短映射的完备度量空间上定义单子，使其分配具有有限一阶矩的Radon概率测度及Kantorovich–Wasserstein距离。
• 将van Breugel在紧致且1有界的空间上的构造推广至一般具有有限一阶矩的完备度量空间。
• 通过余上确界构造，为积分与高阶测度提供范畴论的、无测度的基础。
• 建立Kantorovich单子的代数与巴拿赫空间中闭凸子集之间的等价关系，其中态射为短仿射映射。

提出的方法

• 将Kantorovich单子定义为一个空间有限次幂的余上确界，形式化了概率测度作为有限样本极限的直觉。
• 提出一个新判据，证明某些拟单子函子的普通左Kan扩张是单子Kan扩张，从而确保单子结构得以保持。
• 为Radon概率测度空间配备Kantorovich–Wasserstein距离，以保证完备性并兼容度量结构。
• 通过巴拿赫空间中的闭凸子集表征单子的代数，使用短仿射映射作为态射。
• 在不依赖传统测度论构造的前提下，发展空间上测度的积分理论与高阶测度。
• 利用余上确界结构，在纯粹代数与度量设定下推导范畴性质与普遍构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用范畴论的余上确界方法，在具有有限一阶矩的完备度量空间上构造概率单子？
• RQ2 有限样本在何种意义上逼近概率测度？这种直觉如何在范畴论中形式化？
• RQ3 在何种条件下，拟单子函子的左Kan扩张会成为单子Kan扩张？该条件如何应用于Kantorovich单子？
• RQ4 Kantorovich单子的代数具有何种范畴结构？它们与凸几何有何关系？
• RQ5 能否仅使用范畴论与度量结构，而不依赖传统测度论，发展积分与高阶测度理论？

主要发现

• Kantorovich单子被构造为有限次幂的余上确界，为概率测度作为有限样本极限的直觉提供了范畴论形式化。
• 该单子将van Breugel在紧致且1有界空间上的构造推广至一般具有有限一阶矩的完备度量空间。
• 提出的新判据确保了某些拟单子函子的左Kan扩张是单子Kan扩张，这对单子结构至关重要。
• Kantorovich单子的代数范畴与以短仿射映射为态射的巴拿赫空间中闭凸子集范畴等价。
• 积分理论以及对测度空间上测度的处理可完全脱离测度论，仅依赖范畴与度量结构。
• 该单子为度量空间中的概率提供了一个完全范畴化的框架，统一了度量、概率与凸结构。