[論文レビュー] A Projected Preconditioned Conjugate Gradient Algorithm for Computing a Large Invariant Subspace of a Hermitian Matrix

Eugene Vecharynski, Chao Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

Matrix Theory and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大規模なスパースまたは構造的ヒルベルト行列の最小固有値に関連する大規模不変部分空間を計算するための、投影された予め条件付けられた共役勾配法を提案する。リーマン・リッツ計算の回数を削減し、BLAS3とマルチレベル並列処理を活用することで、LOPCG や Davidson などの既存手法と比較して、特に電子構造計算に生じる高次元問題において、より高い効率性を達成する。

ABSTRACT

We present an iterative algorithm for computing an invariant subspace associated with the algebraically smallest eigenvalues of a large sparse or structured Hermitian matrix A. We are interested in the case in which the dimension of the invariant subspace is large (e.g., over several hundreds or thousands) even though it may still be small relative to the dimension of A. These problems arise from, for example, density functional theory based electronic structure calculations for complex materials. The key feature of our algorithm is that it performs fewer Rayleigh--Ritz calculations compared to existing algorithms such as the locally optimal precondition conjugate gradient or the Davidson algorithm. It is a block algorithm, hence can take advantage of efficient BLAS3 operations and be implemented with multiple levels of concurrency. We discuss a number of practical issues that must be addressed in order to implement the algorithm efficiently on a high performance computer.

研究の動機と目的

• 大規模なスパースまたは構造的ヒルベルト行列における、数百から数千のサイズの不変部分空間を計算する課題に対処すること。
• LOPCG や Davidson などの既存手法と比較して、リーマン・リッツ計算の回数を最小限に抑えることで、計算のオーバーヘッドを低減すること。
• ブロック演算とマルチレベル並列処理を活用することで、高性能コンピュータ上での効率的実装を可能にすること。
• 特に密度汎関数理論における材料科学分野の大型電子構造計算を支援すること。

提案手法

• 目的とする不変部分空間の探索部分空間を反復的に拡張するために、投影された予め条件付けられた共役勾配フレームワークを採用する。
• 反復間で近似リッツ対を再利用することで、リーマン・リッツ計算の回数を削減し、収束効率を向上させる。
• ブロック構造を採用することで、数値的性能とキャッシュ利用効率を向上させるため、BLAS3 演算を効果的に活用できる。
• 収束を加速するために予め条件付けを組み込み、とくに悪条件の行列に対して有効である。
• 複数の並列レベルをサポートしており、分散メモリ型の高性能コンピューティングシステムに適している。
• 実装上の考慮事項として、強固な部分空間リサイクル、分解技術、効率的な予め条件付けの更新が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト行列の不変部分空間を計算する反復的手法において、リーマン・リッツ計算の回数をどのように最小化できるか？
• RQ2 ブロック構造と BLAS3 演算が、大規模問題における部分空間反復法の性能に与える影響は何か？
• RQ3 共役勾配フレームワークに予め条件付けを効果的に統合することで、計算オーバーヘッドを最小限に抑えながら不変部分空間を計算するにはどうすればよいか？
• RQ4 このようなアルゴリズムを高性能コンピューティングアーキテクチャにスケーリングする際の主な実装上の課題は何か？
• RQ5 大規模不変部分空間問題において、LOPCG や Davidson などの既存手法と比較して、提案手法の効率性と頑健性はどのように異なるか？

主な発見

• 提案手法は、LOPCG や Davidson と比較して、リーマン・リッツ計算の回数を顕著に削減し、全体的な計算効率を向上させた。
• ブロック構造のおかげで、高帯域幅を持つ現代のアーキテクチャで効果的に BLAS3 演算が利用可能となり、性能が向上した。
• 複数の並列レベルに対応しており、大規模なハイパフォーマンスコンピューティング環境に適している。
• 特に、大規模な不変部分空間が必要とされる電子構造計算に特化した問題に対して、本手法は特に効果的である。
• 部分空間リサイクルや予め条件付けの管理を含む実用的な実装戦略が、頑健性と効率性を維持するために不可欠であることが示された。