[論文レビュー] A proof of the Schinzel-Zassenhaus conjecture on polynomials

Vesselin Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2019

Meromorphic and Entire Functions参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、非巡回的整係数単一多項式の最大根の大きさに関する鋭い下界を確立することで、シュインツェル＝ザッセンハウゼの予想を証明する。$ P \in \mathbb{Z}[X] $ がモニックで、既約かつ巡回的でないならば、その最大根は $ \max |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} $ を満たす。証明は $ p $-進解析と算術代数化を組み合わせており、べき級数展開とベルトルディアスの定理（無限次元直径に関する）を用いて、$ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上で一様な高さの下界を導出する。応用は、ホロノミック級数および有理関数に関連する。

ABSTRACT

We prove that if $P(X) \in \mathbb{Z}[X]$ is an integer polynomial of degree $n$ and having $P(0) = 1$, then either $P(X)$ is a product of cyclotomic polynomials, or else at least one of the complex roots of $P$ belongs to the disk $|z| \leq 2^{ - 1 / (4n) }$. We also obtain a relative version of this result over the compositum $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$ of all abelian and all totally $p$-adic extensions of $\mathbb{Q}$, for any fixed prime~$p$, and apply it to prove a $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$-relative canonical height lower bound on the multiplicative group. Another extension is given to a uniform positive height lower bound, inverse-proportional to the total number of singular points, on holonomic power series in $\mathbb{Q}[[X]]$ and not of the form $p(X) / (X^k-1)^m$, where $p(X) \in \mathbb{Q}[X]$, with a further application to existence of a small critical value for certain rational functions.

研究の動機と目的

• 非巡回的整係数多項式の最大根の最小サイズに関するシュインツェル＝ザッセンハウゼの予想を解決すること。
• すべてのアーベル的および完全に $ p $-進的拡大体の合成体 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上で、代数的数の標準的高さに関する一様な下界を確立すること。
• 有理関数 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ の形でない、$ \mathbb{Q}[[X]] $ 内の非有理ホロノミック級数に対し、高さの下界を拡張すること。
• 高さの下界を用いて、特定の有理関数が小さい臨界値を持つことを証明すること。

提案手法

• 整数係数を持つ形式的べき級数 $ f(1/X) = \sqrt{\prod_{\alpha: P(\alpha)=0} (1 - \alpha^2/X)(1 - \alpha^4/X)} $ を構成する。
• ベルトルディアスの算術代数化定理を $ f(1/X) $ に適用し、根 $ \{\alpha^2, \alpha^4\} $ への半直線セグメントからなる「ハリケーン集合」$ \mathcal{K} $ を用いる。
• アモローゾとドヴォルニチッチにインspiredされた、固定された素数 $ p $ における $ p $-進オイラー＝フロベニウス合同式を用いて、非巡回的性質を検出する。
• 集合 $ \mathcal{K} $ の無限次元直径に関する下界を導出し、直径が 1 より小さい場合、少なくとも一つの根が $ |z| \leq 2^{-1/(4n)} $ の内側にあることを強制する。
• 代数的数 $ \alpha $ の標準的高さを、ノルム $ N_{K/\mathbb{Q}}(P) $ を通じて対数的マーラー測度と関連付ける。ここで $ c_{P/K} $ は最小多項式の先頭係数である。
• $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上の相対的高さの不等式を用い、$ \log c_{P/K} $、$ \log^+|\alpha| $、および $ p $-進分解条件を含む明示的評価を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非巡回的モニック整係数多項式 $ P \in \mathbb{Z}[X] $ が、$ |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} $ を満たす根 $ \alpha $ を持つかどうか。
• RQ2 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上で、代数的数の標準的高さに一様な下界が存在するか。この下界は、次数と $ p $ のみに依存するか。
• RQ3 $ \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上の非捩れ代数的数の標準的高さに正の下界が存在するか。この下界は次数に反比例するか。
• RQ4 この手法は、$ p(X)/(X^k - 1)^m $ の形でない $ \mathbb{Q}[[X]] $ 内のホロノミック級数へ拡張可能か。
• RQ5 非捩れ代数的臨界点を持つ任意の有理関数は、高さの観点から「小さい」臨界値を持つのか。

主な発見

• 非巡回的モニック整係数既約多項式 $ P \in \mathbb{Z}[X] $ の最大根は、$ \max |\alpha| \geq 2^{1/(4n)} = 1 + \frac{\log 2}{4n} + O(1/n^2) $ を満たす。
• $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上では、標準的高さが $ \frac{1}{[K:\mathbb{Q}]} \log c_{P/K} + \frac{1}{[K:\mathbb{Q}]} \sum \log^+ |\sigma(\alpha)| \geq \frac{\log 2}{n} $ を満たす。$ p $ が不分岐または $ P \in \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p}[X] $ の場合、より強い形が得られる。
• $ \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上の非捩れ代数的数 $ \alpha $ の標準的高さは $ h(\alpha) \geq \frac{\log 2}{p^2 n} $ を満たす。同様の評価は $ \mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t}.p} $ 上でも成り立つ。
• 有理関数 $ p(X)/(X^k - 1)^m $ の形でない非有理ホロノミック級数 $ f \in \mathbb{Q}[[X]] $ に対しては、特異点の数に反比例する一様な高さの下界が成り立つ。
• この手法により、逆多項式の高さの下界を用いて、特定の有理関数が小さい臨界値を持つことが示唆される。
• $ \inf h(\alpha) \geq \frac{\log p}{p^2 n} $ の評価は、$ p $-進分解体からの例によって、定数因子を除いて鋭いことが示されている。