[論文レビュー] A proof of the stability of extremal graphs, Simonovits' stability from Szemerédi's regularity

Zoltán Füredi|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Jan 13, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、シュレーディンガーの正則性補題を用いて、極値的グラフのシモノビッツの安定性定理の新しい、簡潔な証明を提示する。$K_{p+1}$-free で最大辺数に近い辺数を持つグラフは、完全 $p$-部グラフであるトゥーラングラフに構造的に近いことが示される。主な貢献は鋭い構造的安定性結果である：辺数が $e(T_{n,p}) - t$ であるグラフは、$e(G) - t$ 本以上の辺を持つ $p$-彩色可能部分グラフを含み、完全 $p$-部グラフからの編集距離が $\leq 3t$ であることを意味する。

ABSTRACT

The following sharpening of Turán's theorem is proved. Let $T_{n,p}$ denote the complete $p$--partite graph of order $n$ having the maximum number of edges. If $G$ is an $n$-vertex $K_{p+1}$-free graph with $e(T_{n,p})-t$ edges then there exists an (at most) $p$-chromatic subgraph $H_0$ such that $e(H_0)\geq e(G)-t$. Using this result we present a concise, contemporary proof (i.e., one applying Szemerédi's regularity lemma) for the classical stability result of Simonovits.

研究の動機と目的

• シュレーディンガーの正則性補題を用いて、シモノビッツの安定性定理の現代的で簡潔な証明を提供すること。
• 極値的 $K_{p+1}$-free グラフに対する鋭い構造的安定性結果を確立すること。
• 任意の $K_{p+1}$-free グラフが $e(T_{n,p}) - t$ 本の辺を持つとき、$e(G) - t$ 本以上の辺を持つ $p$-彩色可能部分グラフを含むことを示すこと。
• このようなグラフとトゥーラングラフ $T_{n,p}$ 間の編集距離に対する定量的評価を導出すること。

提案手法

• エレドーシの次数マジョライゼーションアルゴリズムを適用して、$K_{p+1}$-free グラフ $G$ の内部辺数が少ない $p$-部グラフ部分 $H_0$ を構成する。
• アルゴリズムから導かれる不等式 $\sum_{i} e(G|V_i) \leq t$ を用いて、各部内での辺数を制限する。
• リムーブメント補題（補題3の形）を用いて、$e(H) > e(G) - \alpha n^2$ を満たす $K_{p+1}$-free 部分グラフ $H$ を見つける。
• 定理1を $H$ に適用し、$e(H_0) > e(T_{n,p}) - 4\alpha n^2$ を満たす $p$-部グラフ部分 $H_0$ を得る。
• 系2を用いて、$\text{ed}(K, H) < 6\alpha n^2$ を満たす完全 $p$-部グラフ $K$ を構成し、$\text{ed}(K, G) < 7\alpha n^2$ を得る。
• 推定式 $\text{ed}(K, T_{n,p}) \leq n^2 \sqrt{2\alpha/p}$ を組み合わせることで、$G$ から $T_{n,p}$ への総編集距離を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シモノビッツの安定性定理は、シュレーディンガーの正則性補題を用いて、現代的で洗練された方法で再証明可能か？
• RQ2 辺数が $e(T_{n,p}) - t$ である $K_{p+1}$-free グラフと完全 $p$-部グラフとの間の正確な構造的関係は何か？
• RQ3 次数マジョライゼーションアルゴリズムは、制御された辺損失を伴う $p$-彩色可能部分グラフを構成するためにどのように利用可能か？
• RQ4 近い極値的 $K_{p+1}$-free グラフとトゥーラングラフ $T_{n,p}$ 間の編集距離は何か？
• RQ5 リムーブメント補題を用いて、一般の $\mathcal{L}$-free グラフに対しても安定性結果を拡張可能か？

主な発見

• 任意の $K_{p+1}$-free グラフ $G$ について、$e(G) = e(T_{n,p}) - t$ ならば、$e(H_0) \geq e(G) - t$ を満たす $p$-彩色可能部分グラフ $H_0 \subset G$ が存在する。
• グラフ $G$ とある完全 $p$-部グラフ $K$ 間の編集距離は、$|\mathcal{E}(G) \triangle \mathcal{E}(K)| \leq 3t$ を満たし、定量的安定性バインディングが得られる。
• リムーブメント補題を用いて、任意の $\alpha > 0$ と十分大きな $n$ に対して、$e(H) > e(G) - \alpha n^2$ を満たす $K_{p+1}$-free 部分グラフ $H$ を見つけられる。
• $G$ からトゥーラングラフ $T_{n,p}$ への総編集距離は、$(7\alpha + \sqrt{2\alpha/p})n^2$ 以下であることが示され、構造的近接性が証明される。
• この結果は、$n > n_0$ の仮定を必要とせず、すべての $n$、$p$、$t$ に対して成り立つため、普遍的に適用可能である。
• 証明により、最大辺数に近い辺数を持つ任意の $K_{p+1}$-free グラフの構造は、編集距離の意味で完全 $p$-部グラフに近いことが示された。