[論文レビュー] A property of a partial theta function

Vladimir Petrov Kostov|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、|q| < 1 における部分シータ関数 θ(q,x) = ∑_{j=0}^∞ q^{j(j+1)/2}x^j の基本的な構造的性質を確立する。q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] のとき、θ(q,·) は実数係数の2次元多項式（実数解なし）と、Laguerre-Pólyaクラス LP-I に属する関数に分解可能である。すべての |q| < 1 に対して、θ(q,·) は高々有限個の重複零を持ち、それ以外の零点はすべて単一であり、漸近的に -q^{-k} に近い。また、q ∈ (-1,0) のとき、θ(q,·) は実数係数の実数解なし多項式と、符号が交互な実数零点を持つ LP クラス関数に分解可能である。

ABSTRACT

The series $θ(q,x):=\sum _{j=0}^{\infty}q^{j(j+1)/2}x^j$ converges for $|q|&lt;1$ and defines a {\em partial theta function}. For any fixed $q\in (0,1)$ it has infinitely many negative zeros. It is known that for $q$ taking one of the {\em spectral} values $ ilde{q}_1$, $ ilde{q}_2$, $\ldots$ (where $0.3092493386\ldots = ilde{q}_1

研究の動機と目的

• |q| < 1 における部分シータ関数 θ(q,x) = ∑_{j=0}^∞ q^{j(j+1)/2}x^j の零点分布および因数分解構造を特徴づけること。
• θ(q,·) が重複実零点を持つ条件、特にスペクトル値 q̃_j における条件を特定すること。
• q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] のとき、θ(q,·) が実数係数の2j次多項式（実数解なし）と、Laguerre-Pólyaクラス LP-I に属する関数に分解可能であることを確立すること。
• |k| → ∞ のときの θ(q,·) の零点の漸近的挙動を分析し、それらが -q^{-k} の周囲に集積することを示すこと。

提案手法

• θ(q,x) = ∏_k (1 + x/x_k) （ただし -x_k は θ(q,·) の零点）という無限積表現を用い、関数の収束性と構造を分析する。
• Jacobi シータ関数 Θ(q,x) 及びその零点集合 {−q^{-k} : k ∈ ℤ} の性質を応用し、θ(q,·) の零点に対する漸近近似を導出する。
• 零点の位数が0である整関数の理論および Laguerre-Pólya クラス LP と LP-I の性質を用いて、θ(q,·) の多項式および LP クラス関数への因数分解を特徴づける。
• 無限積 ∏(1 + x/x_k) の収束性と、θ(q,·) の位数が0である事実を用い、Weierstrass 因数分解が定数倍に限ることを証明し、θ(q,x) = ∏(1 + x/x_k) が成り立つことを導出する。
• 文献[9]の定理3（零点を持たない整関数）を応用し、任意のこのような関数が e^{φ} の形に書けることを示し、x=0 での正規化を用いて φ ≡ 0 を結論づける。
• q ∈ (−1,0) の場合、零点集合を実数零点と複素共役対に分解し、実数零点が符号が交互になること、および実数零点の積が LP クラスに属する関数を形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q ∈ (0,1) のどの値に対して、部分シータ関数 θ(q,·) が重複実零点を持つのか。
• RQ2 θ(q,·) の因数分解は、区間 (q̃_j, q̃_{j+1}] の間でどのように変化するのか。
• RQ3 固定された q に対して |q| < 1 かつ |k| → ∞ のとき、θ(q,·) の零点の漸近的分布はどのようになるか。
• RQ4 θ(q,·) は、実数係数の実数解なし多項式と、Laguerre-Pólya クラス LP もしくは LP-I に属する関数の積に因数分解可能か。
• RQ5 固定された q に対して、θ(q,·) がもつことのできる重複零点の数は最大でいくつか。

主な発見

• 任意の固定された q ∈ ℂ∖{0} に対して |q| < 1 が成り立つとき、θ(q,·) は高々有限個の重複零点を持つ。
• q ∈ (q̃_j, q̃_{j+1}] のとき、θ(q,·) は実数係数の2j次多項式（実数解なし）と、Laguerre-Pólyaクラス LP-I に属する関数の積に分解可能である。
• q ∈ (−1,0) のとき、θ(q,·) は定数項が1で実数解のない実数係数多項式と、符号が交互な実数零点を持つ LP クラス関数の積に分解可能である。
• 任意の固定された q ∈ ℂ∖{0} に対して |q| < 1 が成り立ち、十分大きな k に対して、θ(q,·) は単一零点 ζ_k を持ち、|ζ_k + q^{-k}| → 0 （k → ∞）を満たす。
• すべての q ∈ ℂ∖{0} に対して |q| < 1 が成り立つとき、無限積表現 θ(q,x) = ∏_k (1 + x/x_k) が成り立ち、ここで -x_k は θ(q,·) の零点（重複度を含む）である。
• q ∈ (−1,0) に対して、θ(q,·) の実数零点の絶対値の列は、最終的に単調増加である。