[논문 리뷰] A quantum algorithm for simulating non-sparse Hamiltonians

Chunhao Wang, Leonard Wossnig|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비희소 해밀토니안을 시뮬레이션하기 위한 양자 알고리즘을 제안하며, 양자 랜덤 액세스 메모리(qRAM) 입력 모델을 사용하여 정밀도에 대한 다항로그 의존성을 실현한다. 선형 조합의 양자 워크(LCU)와 qRAM에 저장된 해밀토니안 항목으로부터의 효율적 상태 준비를 결합함으로써, 시간 복잡도가 $ O(t\|H\| \sqrt{N} \, \mathrm{polylog}(N,t\|H\|,1/\epsilon)) $인 알고리즘이 도출되며, 이는 이전 방법에 비해 정밀도 스케일링에서 중대한 향상을 이룬다.

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for simulating the dynamics of Hamiltonians that are not necessarily sparse. Our algorithm is based on the input model where the entries of the Hamiltonian are stored in a data structure in a quantum random access memory (qRAM) which allows for the efficient preparation of states that encode the rows of the Hamiltonian. We use a linear combination of quantum walks to achieve poly-logarithmic dependence on precision. The time complexity of our algorithm, measured in terms of the circuit depth, is $O(t\sqrt{N}\|H\|\,\mathrm{polylog}(N, t\|H\|, 1/ε))$, where $t$ is the evolution time, $N$ is the dimension of the system, and $ε$ is the error in the final state, which we call precision. Our algorithm can be directly applied as a subroutine for unitary implementation and quantum linear systems solvers, achieving $\widetilde{O}(\sqrt{N})$ dependence for both applications.

연구 동기 및 목표

• 기존 희소 액세스 모델에서 효율적으로 표현되지 않는 비희소 해밀토니안에 대한 시간 진동 시뮬레이션을 위한 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 기존의 희소 액세스 또는 국소 해밀토니안 모델이 적용되지 않는 조밀하거나 비희소 해밀토니안을 시뮬레이션하는 데 도전하는 것.
• 정밀도에 대한 다항로그 의존성을 갖는 시간 복잡도를 달성하여 기존의 해밀토니안 시뮬레이션을 위한 양자 알고리즘보다 향상된 성능을 달성하는 것.
• qRAM 모델에서 효율적인 양자 선형 시스템 해법기와 유니터리 구현을 가능하게 하며, 시스템 차원에 대해 $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $ 의존성을 갖는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 해밀토니안 항목을 저장하기 위해 qRAM 데이터 구조를 사용하여 해밀토니안 행을 Encoding하는 양자 상태를 효율적으로 준비한다.
• 시간 진동 $ e^{-iHt} $ 를 시뮬레이션하기 위해 양자 워크의 선형 조합(LCU)을 활용하며, 해밀토니안 행에 대한 초위상의 준비 능력을 활용한다.
• 해밀토니안의 구조를 인코딩하는 양자 워크 연산자 $ U $ 를 구성하며, 각 행당 상태 준비 비용은 $ O(\mathrm{polylog}(N)) $ 이다.
• 진동 연산자를 제어된 오차로 시행하기 위해 브레스켈 함수 근사와 절단된 급수 전개를 사용한다. 이는 $ \epsilon $-정확도를 보장한다.
• 알고리즘은 양자 워크를 세그먼트 단위로 적용하며, 각 세그먼트는 $ e^{-iH/(2\|H\|_1)} $ 를 시뮬레이션하고, 총 진동 시간 $ t $ 를 달성하기 위해 $ O(t\|H\|_1) $ 번 반복한다.
• 선형 조합의 계수들은 알려진 방법을 사용해 고전적으로 사전 계산되며, 세그먼트당 비용은 $ O(k) $ 이며, 여기서 $ k \sim \log(t\|H\|/\epsilon)/\log\log(t\|H\|/\epsilon) $ 이다.

Figure 1: A example of the data structure that allows for efficient state preparation using a logarithmic number of conditional rotations.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비희소 해밀토니안은 해밀토니안 항목이 양자 액세스 가능한 데이터 구조에 저장된 qRAM 기반 입력 모델을 사용하여 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 조밀하거나 비희소 해밀토니안에 대해 정밀도에 대한 다항로그 의존성을 달성하는 것은 가능한가?
• RQ3 선형 조합의 양자 워크 기법은 희소 액세스 오라클이 아닌 qRAM로 준비된 상태와 함께 적용될 수 있는가?
• RQ4 이 알고리즘의 시간 복잡도는 시스템 크기 $ N $, 진동 시간 $ t $, 정밀도 $ \epsilon $ 에 대해 기존의 해밀토니안 시뮬레이션 양자 알고리즘과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 이 알고리즘은 qRAM 모델에서 양자 선형 시스템 해법기와 유니터리 구현을 향상시키기 위한 서브루틴으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $ O(t\|H\| \sqrt{N} \, \mathrm{polylog}(N,t\|H\|,1/\epsilon)) $ 의 시간 복잡도를 달성하며, 시스템 차원 $ N $ 에 대해 $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $ 의존성을 갖는다. 이는 비희소 해밀토니안에 대해 최적이다.
• 정밀도 의존성이 다항로그이며, 특히 $ \mathrm{polylog}(t\|H\|,1/\epsilon) $ 로 표현되며, 이는 이전의 양자 알고리즘과는 달리 지수적 정밀도 의존성에 비해 중대한 향상이다.
• 알고리즘은 qRAM 모델에서 $ \widetilde{O}(\sqrt{N}) $ 의 차원 스케일링과 다항로그 정밀도 의존성을 갖는 양자 선형 시스템 해법기를 가능하게 하며, 이는 이전의 작업에 비해 지수적 향상을 이룬다.
• 해밀토니안 행에 대한 상태 준비가 $ O(\mathrm{polylog}(N)) $ 시간 내에 이루어져, 양자 워크 구성에 필요한 초위상에 대한 효율적 액세스를 가능하게 한다.
• 절단된 베셀 함수 급수와 고전적 계수 사전 계산을 통해 선형 조합의 양자 워크를 오차가 제한된 상태로 시행한다.
• 알고리즘은 qRAM의 한계, 즉 높은 물리적 자원 오버헤드와 엄격한 오차율 요구 조건을 그대로 이어받지만, 선형 회귀 및 선형 시스템 문제와 같은 문제들에 대해 고전적 알고리즘보다 다항 시간의 가속도를 제공한다.