[論文レビュー] A Quantum Algorithm for Testing Juntas in Boolean Functions

Khaled El-Wazan, Ahmed Younes+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ブール関数の特定の変数がジャンタ変数（つまり、関数の出力に影響しない）であるか、または$\epsilon$-遠くにジャンタでないかをテストする、新しい量子アルゴリズムを提案する。2つの関数のブラックボックスを用いて、$x_i$がジャンタ変数であれば定数ゼロとなる関数$g_{x_i}$を構築し、それ以外の場合は少なくとも1つの解を持つようにする。その後、部分的デューリング演算子を用いた振幅増幅を適用することで、$\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$クエリで2つの場合を区別する。

ABSTRACT

Given a Boolean function $f$ provided as a black-box with $n$ variables, this paper will propose a quantum algorithm for testing if a certain variable is junta or $ε$-far from being junta. The proposed algorithm constructs another black-box using two copies of the provided black-box. The constructed black-box is used with the partial diffusion operator in an amplitude amplification technique to test whether the variable being tested is junta or not, using $\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$ queries to the constructed black-box. The proposed algorithm considers a Boolean function of general form, contrary to relevant algorithms proposed by others.

研究の動機と目的

• 一般のブール関数における特定の入力変数がジャンタ変数であるか、または$\epsilon$-遠くにジャンタでないかをテストする量子アルゴリズムを開発すること。
• 従来のアルゴリズムが線形関数や単一項関数などの制限付きクラスの関数にしか適用できないという限界を克服すること。
• 関数の形にかかわらず適用可能な汎用的解決策を提供し、少なくとも$2/3$の成功確率を保証すること。
• 特に関数構造が未知または複雑な場合に、古典的手法および従来の量子手法よりも2乗の速度向上を達成すること。

提案手法

• テスト対象の変数$x_i$を用いて、元のブール関数$f$の2つのコピーから新しいブラックボックス関数$g_{x_i}$を構築する。
• 標準基底ベクトル$e_i$を用いて、$g_{x_i}(x) = f(x) \oplus f(x \oplus e_i)$を定義することで、$x_i$への依存性を検出する。
• 部分的デューリング演算子を用いた振幅増幅を適用し、$g_{x_i}$の解の振幅を増幅することで、解が存在するかどうかを効率的に特定する。
• 2つの場合を区別する：$g_{x_i}$が恒等的にゼロ（$x_i$がジャンタ変数）であるか、少なくとも1つの解を持つ（$x_i$がジャンタ変数でない）か。
• 解の数が未知であるため、解数の事前知識を必要としない、頑健な振幅増幅技術を用いる。
• 構築されたブラックボックス$g_{x_i}$に対して$\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$クエリで動作し、古典的手法よりも2乗の速度向上を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のブール関数において、単一の変数がジャンタ変数であるか、または$\epsilon$-遠くにジャンタでないかをテストできる量子アルゴリズムは存在するか？
• RQ2 非線形関数や多項式関数を含む任意のブール関数に対して、事前の構造的仮定なしに動作する量子アルゴリズムはどのように設計できるか？
• RQ3 構築されたブラックボックス関数を用いた量子振幅増幅によるジャンタ変数のテストのクエリ複雑度は何か？
• RQ4 本稿で提案するアルゴリズムの性能は、線形関数や単一項関数に限定される従来の量子アルゴリズムと比べてどう異なるか？
• RQ5 解数の知識がなくても、成功確率を$\geq 2/3$に保てるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、関数の形に関係なく、変数$x_i$がジャンタであるか$\epsilon$-遠くにジャンタでないかをテストする際、$\mathcal{O}(\sqrt{2^n})$のクエリ複雑度を達成する。
• $x_i$がジャンタ変数であれば、構築された関数$g_{x_i}$は恒等的にゼロ（定数）となり、そうでなければ少なくとも1つの解を持つため、振幅増幅によって明確に区別できる。
• 従来の手法が線形関数や単一項関数に限定されるのに対し、本アルゴリズムは非線形関数や多項式関数を含む任意のブール関数に対して動作する。
• 特に関数構造が未知または複雑な場合に、古典的手法およびFloessらの従来の量子アルゴリズムよりも2乗の速度向上を達成する。
• すべてのブール関数に対して成功確率が少なくとも$2/3$であり、$g_{x_i}$の解数の事前知識を必要としないため、頑健で汎用的である。
• 次数$m$の単一項関数に対しては、$\mathcal{O}(\sqrt{2^m})$のクエリで十分であり、Floessらの$\mathcal{O}(2^m)$のオракル呼び出しよりも2乗の改善が得られる。