[論文レビュー] A Quantum Approach to Subset-Sum and Similar Problems

Ammar Daskin|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2017

Artificial Intelligence in Games被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、位相推定とアモニチュード増幅を用いた量子ヒューリスティック的手法を提案し、量子アーティーファイン・マーリンゲームにインspiredして部分和問題を解く。特定の仮定のもと——具体的には、妥当な部分和と不適切な部分和の比が多項式的であり、重要なキュービットの測定確率が指数的に小さくない——では、多項式時間で正確な解が得られ、特定のインスタンスにおいて古典的手法に比べて指数的高速化の可能性を示唆する。

ABSTRACT

In this paper, we study the subset-sum problem by using a quantum heuristic approach similar to the verification circuit of quantum Arthur-Merlin games. Under described certain assumptions, we show that the exact solution of the subset sum problem my be obtained in polynomial time and the exponential speed-up over the classical algorithms may be possible. We give a numerical example and discuss the complexity of the approach and its further application to the knapsack problem.

研究の動機と目的

• 特定の構造的仮定のもとで、NP完全な部分和問題を多項式時間で解く量子アルゴリズムを開発すること。
• 部分和問題やナップサック問題などの類縁問題について、量子アルゴリズムが古典的手法に比べて指数的高速化を達成できるかどうかを調査すること。
• アーティーファイン・マーリンゲームにインspiredした量子検証回路を用いて、アモニチュード増幅を最適解に向かって誘導する可能性を検討すること。
• 逐次的キュービット測定とアモニチュード増幅による量子最大値探索が、高い確率で正確な解をもたらす条件を特定すること。

提案手法

• 位相推定を用いて、ユニタリ演算子の固有位相としてエンコードされた、すべての可能な部分和の重ね合わせ状態を生成する。
• アモニチュード増幅を適用し、目標値 W より小さい部分和に対応する状態をマーク・増幅することで、妥当な解に焦点を当てる。
• 最上位ビットから順に測定を実行する逐次的測定戦略を採用し、状態を最大の妥当な和に向かって収束させる。
• 各キュービットを測定した後、次のキュービットにおける正しいビット値を測定する確率を高めるために、再びアモニチュード増幅を適用し、成功確率が指数的に小さくならないように保証する。
• 入力分布の構造を活用して探索を誘導する。最大の妥当な和の2進表現における正しいビット値の確率が 1/poly(n) 以上であると仮定する。
• 位相推定とアモニチュード増幅の枠組みを適応することで、0-1ナップサック問題を含む他のNP完全問題に対しても一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相推定とアモニチュード増幅に基づく量子アルゴリズムが、妥当な解の分布に関する現実的な仮定のもとで、部分和問題を多項式時間で解けるか？
• RQ2 最大の妥当な和の2進表現における各ビット位置での正しいビット値の測定確率が、指数的減衰から離れる条件は何か？
• RQ3 妥当な解の数が不適切な解の数ほど指数的に少ないわけではない場合、提案された量子ヒューリスティックが古典的手法に比べて指数的高速化を達成できるか？
• RQ4 部分和問題の構造を、最適解に向けた探索を誘導する量子検証フレームワーク内でどのように活用できるか？
• RQ5 この手法を0-1ナップサック問題などの他のNP完全問題へ一般化できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 入力の不適切な部分和と妥当な部分和の比が n に対して多項式的であるという仮定のもとで、アルゴリズムは部分和問題を多項式時間で正確に解ける。
• 最大の妥当な和の2進表現における各ビット位置での正しいビット値の測定確率が、少なくとも 1/poly(n) 以上に保たれ、成功確率の指数的減衰を防ぐ。
• 数値例では、反復的測定とアモニチュード増幅の後、最大の妥当な和が 0.1953125（固有状態 |0011000⟩ に対応）として高い確率で特定された。
• 測定確率が指数的に小さくない場合、逐次的キュービット測定とアモニチュード増幅による量子最大値探索が正確な解をもたらすことが示された。
• 特に妥当な解の数が指数的にまれでない場合、古典的手法に比べて指数的高速化の可能性を示している。
• 0-1ナップサック問題を含む他のNP完全問題に対しても、このフレームワークは一般化可能であり、量子ヒューリスティックの広範な応用可能性を示唆している。