[論文レビュー] A rate-independent model for the isothermal quasi-static evolution of shape-memory materials

Ferdinando Auricchio, Alexander Mielke+1 more|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Shape Memory Alloy Transformations参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、エネルギー的定式化を用いて応力誘発相転移を記述する、レート独立で等温な準静的モデルを形状記憶材料に対して提示する。解の存在および連続的依存性を確立し、$̼Gamma$-収束を用いて時間および空間近似の収束を証明し、3次元において正則化および漸近解析によるモデルの妥当性を検証する。

ABSTRACT

This note addresses a three-dimensional model for isothermal stress-induced transformation in shape-memory polycrystalline materials. We treat the problem within the framework of the energetic formulation of rate-independent processes and investigate existence and continuous dependence issues at both the constitutive relation and quasi-static evolution level. Moreover, we focus on time and space approximation as well as on regularization and parameter asymptotics.

研究の動機と目的

• 応力誘発相転移下での等温的準静的形状記憶材料の進化を、数学的に厳密な枠組みで構築すること。
• レート独立過程のエネルギー的定式化において、解の存在および連続的依存性を確立すること。
• 3次元設定における時間および空間離散化、正則化、パラメータの漸近的挙動を分析すること。
• 時間、空間、正則化の近似解が、$̼Gamma$-収束および安定性の議論を用いて連続問題に収束することを証明すること。

提案手法

• 線形化されたひずみの加法的分解 $\varepsilon = \varepsilon_{\text{el}} + z$ を用いて問題を定式化する。
• エネルギー的定式化を用い、部分微分包含を用いる：$\binom{0}{\partial D(\dot{z})} + \binom{\partial_\varepsilon W}{\partial_z W} \ni \binom{\sigma}{0}$ ここで $W$ は貯蔵エネルギー、$D$ は散逸密度を表す。
• インクリメンタル解の存在および一意性を保証するため、正則化パラメータ $\rho > 0$ を導入した正則化問題を提示する。
• 時間刻み $\tau$ を用いた時間離散化と、$h$ をメッシュサイズとして表す有限次元部分空間 $Y^\nu_{0,h}$ を用いた空間近似を適用する。
• $\Gamma$-収束技術を用いて、$\rho, \tau, h \to 0$ の極限における近似解の極限を分析し、強いおよび弱い位相での収束を証明する。
• 下界半連続性の性質を用いて $W$ および $D$ を、$L^2(\Omega; \mathbb{R}^{3\times3}_{\text{dev}})$ における $D$ の強い連続性を活用し、極限における安定性およびエネルギー等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー的定式化に基づく、レート独立で等温な準静的形状記憶材料モデルは、解を有するか？
• RQ2 時間および空間近似は連続解にどのように収束するのか？正則化の役割は何か？
• RQ3 時間刻み $\tau$、空間離散化 $h$、正則化パラメータ $\rho$ の共同極限における解の挙動はいかなるものか？
• RQ4 正則化および離散化パラメータが消える極限において、エネルギー的定式化が安定性およびエネルギー保存を保つことができるか？
• RQ5 正則化パラメータ $\rho$、時間刻み $\tau$、空間離散化 $h$ の共同極限におけるインクリメンタル解の収束挙動はどのようなものか？

主な発見

• 固定された $\nu > 0$ に対して、$\rho_k \to \rho$, $\tau_k \to \tau \geq 0$, $h_k \to h \geq 0$ の下で、解 $(v,z)_{\rho,\tau,h}$ は $\mathcal{Y}^\nu_0$ 内で強い収束を示す。これは、部分列に沿って成立する可能性がある。
• 極限解は安定性条件 (6.1) およびエネルギー等式 (6.2) を満たしており、連続的進化問題の有効な解であることが確認される。
• 型 $e$ の収束（$\rho, \tau \to 0$ の共同極限）は、$\mathcal{Y}^\nu_0$ 内での弱収束および $z$ の $L^2(\Omega; \mathbb{R}^{3\times3}_{\text{dev}})$ 内での強い収束を用いて確立される。
• 離散エネルギー推定式 (6.6) の $\liminf$ に渡すことで、上界エネルギー推定が極限で保存される。
• 時間連続的な上界エネルギー推定式 (6.7) の $\liminf$ に渡すことで、$\tau = 0$ の場合の極限 $f$ が証明される。時間離散化がないため、議論が簡略化される。
• 収束結果は共同極限に対して頑健であり、図3に示すように、パrameter空間内のすべての経路について収束が確立される。$\rho = 0$ および $\tau = 0$ の場合を含む。