[論文レビュー] A Refinement of Shor's Algorithm

D. S. McAnally|ArXiv.org|Dec 9, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、最初のレジスタのキュービット数を約1.5倍することでショアのアルゴリズムを改善し、各量子実行で位数の約数をほぼ確実に得られるようにしている。この方法は、複数回の実行結果を蓄積することで、期待される実行回数をO(1)に削減し、2回以内に60%以上の確率で成功し、4回以内に90%以上の確率で成功する。これは、元々のショアのアルゴリズムに比べて著しく効率が向上している。

ABSTRACT

A refinement of Shor's Algorithm for determining order is introduced, which determines a divisor of the order after any one run of a quantum computer with almost absolute certainty. The information garnered from each run is accumulated to determine the order, and for any k greater than 1, there is a guaranteed minimum positive probability that the order will be determined after at most k runs. The probability of determination of the order after at most k runs exponentially approaches a value negligibly less than one, so that the accumulated information determines the order with almost absolute certainty. The probability of determining the order after at most two runs is more than 60%, and the probability of determining the order after at most four runs is more than 90%.

研究の動機と目的

• ショアの量子位数探索アルゴリズムの1回あたりの成功確率を向上させること。
• nを法とするxの位数を特定するのに必要な量子コンピュータの実行回数の期待値を低減すること。
• 各実行が位数の約数を1に近い確率で得られることを保証すること。
• 小さな有界な回数の実行後に高い累積的成功確率を保証する確率的枠組みを提供すること。

提案手法

• 量子フーリエ変換（QFT）の分解能を向上させるために、最初のレジスタのキュービット数を約1.5倍すること。
• 測定結果の解析に用いるため、ℤ/qℤ上に巡回的不変な距離の概念を定義するためのモジュラス距離ρqを導入すること。
• 測定値から位数情報を抽出するために、連分数を用いた古典的後処理を用いること。
• 複数回の実行からの結果を蓄積し、各実行の出力を高い確率で真の位数の約数とみなすこと。
• 位数の素因数の素因数冪に対する独立な確率変数として、結果の確率分布をモデル化すること。
• 包含除算の原理とゼータ関数の境界を用いて、k回の実行後の成功確率に対する漸近的下界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ショアのアルゴリズムの1回あたりの成功確率を、各実行が位数の約数をほぼ確実に得られるように、1に近づけることは可能か？
• RQ2 各実行が部分的な情報を提供する場合に、位数を高い確率で特定するのに必要な最小の量子実行回数は何か？
• RQ3 キュービット数を増加させることで、測定結果の確率分布および蓄積結果の収束にどのような影響があるか？
• RQ4 数論的および確率的道具を用いて、最大k回の実行後に位数を特定する確率を下から抑え込むことは可能か？
• RQ5 実行回数が増加する際の成功確率の漸近的挙動は何か？また、理想化された状況と比較するとどうなるか？

主な発見

• 2回以内の実行で、位数を特定する確率は60%を超える。
• 4回以内の実行で、位数を特定する確率は90%を超える。
• k回の実行後の成功確率は、1/ζ(k) − O(n^−ε)で下から抑え込まれており、kが増加するにつれて1に近づく。
• キュービット数の増加と洗練されたQFT分解能のおかげで、各実行が位数の約数を1に近い確率で得ることが保証される。
• 理想的な量子コンピュータの性能と十分なキュービットスケーリングを仮定すれば、必要な量子実行回数はO(1)にまで削減される。
• 成功確率の下界は、リーマンゼータ関数の性質と位数の素因数冪における包含除算の原理を用いて導出されている。