[논문 리뷰] A `relative' local Langlands correspondence

Dipendra Prasad|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 23인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 국소체의 이차 확장 E/F에 대해 G(E)의 무한가역 표현 중 G(F)에 의해 불변인 것을 분류하는 추측적 '상대적' 국소 랭랜즈 대응을 제안한다. 이는 랭랜즈 매개변수를 통해 기술된다. 핵심 결과는 G(F)-불변 선형 형식의 차원이 PGL₂(ℂ)에서 GL₂(ℂ)로의 L-매개변수의 서로 다른 업그레이드 수와 일치하며, L군의 매개변수 공간 간 기하적 사상에 의해 고계수 군으로 일반화된다.

ABSTRACT

For $E/F$ quadratic extension of local fields and $G$ a reductive algebraic group over $F$, the paper formulates a conjecture classifying irreducible admissible representations of $G(E)$ which carry a $G(F)$ invariant linear form, and the dimension of the space of these invariant forms, in terms of the Langlands parameter of the representation. The paper studies parameter spaces of Langlands parameters, and morphisms between them associated to morphisms of $L$-groups. The conjectural answer to the question on the space of $G(F)$-invariant linear forms is in terms of fibers of a particular finite map between parameter spaces.

연구 동기 및 목표

• . G(E)의 무한가역 표현 중 G(F)-불변 선형 형식을 지닌 것을 분류하는 추측을 제안한다.
• . G(F)-불변 선형 형식의 공간의 차원을 랭랜즈 매개변수의 관점에서 이해한다.
• . SL(2)의 경우를 고계수 재조화군으로 일반화하기 위해 L-매개변수 공간의 기하적 구조를 사용한다.
• . 불변 형식의 다중도가 기본 체인지 하에 L-매개변수의 서로 다른 업그레이드 수와 어떻게 관련되는지 규명한다.
• . 게일로아 경우에 대해 매개변수 공간 간 함자적 사상으로 상대 랭랜즈 프로그램의 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• . 랭랜즈-바건 매개변수화를 사용하여 G(E)의 표현을 Weil-디릴레 그룹에서 L군 LG로의 호모모르피즘과 연관시킨다.
• . L군 LG₁ 및 LG₂에 대해 매개변수 공간 X₁ = Hom(W'F, LG₁(ℂ)) 및 X₂ = Hom(W'F, LG₂(ℂ))를 구성한다.
• . 무한가역 L-매개변수를 분류하는 몫 공간 X₁//bG₁(ℂ) 및 X₂//bG₂(ℂ)를 연구한다.
• . L군 LG₁ → LG₂의 호모모르피즘에 의해 유도되는 유한 사상 Φ: X₁//bG₁(ℂ) → X₂//bG₂(ℂ)를 분석하며, 특히 이차 기본 체인지의 맥락에서 고려한다.
• . bG₁(ℂ) 및 bG₂(ℂ) 작용 하에서 점의 안정자(스태빌라이저)를 분석하며, 연결 성분에 중점을 두어 다중도와 연관시킨다.
• . 코homological 및 기하적 도구를 사용하여 토리, SL(2), GL(n), 유니터리 군, 그리고 실수 재조화군의 구체적 사례에 이 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . G(E)의 무한가역 표현 π에 대한 G(F)-불변 선형 형식의 공간은 π의 랭랜즈 매개변수로 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 . G(F)-불변 형식의 다중도와 PGL₂(ℂ)에서 GL₂(ℂ)로의 L-매개변수의 서로 다른 업그레이드 수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 . L-매개변수 공간의 기하적 구조를 사용하여 상대 랭랜즈 대응이 SL(2)에서 고계수 군으로 일반화되는 방식은 무엇인가?
• RQ4 . 아르히메데스 경우에서, GLₙ(ℂ)의 주요 계열 표현 π에 대해 HomU(k+r,k+s)(π, ℂ)의 차원은 무엇으로 결정되는가?
• RQ5 . 컴팩트 군 G의 순수 내부 형식은 개방 궤도의 수와 유도 표현 위에서의 불변 선형 형식의 수에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• . SL(2)의 경우, SL(2,E)의 표현 π에 대한 SL(2,F)-불변 선형 형식의 차원은 L-매개변수 σπ: WE → PGL₂(ℂ)에서 ˜σπ: WF → PGL₂(ℂ)로의 서로 다른 업그레이드 수와 일치한다.
• . GLₙ(ℂ)의 경우, HomU(k+r,k+s)(π, ℂ)의 차원은 이항계수 (ℓ r)로 주어지며, 여기서 ℓ는 랭랜즈 매개변수에 포함된 자기대칭 성분의 수이며, r + s = ℓ일 때에만 비영이다.
• . 모든 p + q = n에 대해 dim HomU(p,q)(π, ℂ)의 합은 2ℓ과 일치하며, 이는 GLₙ(ℝ)에서의 기본 체인지로 랭랜즈 매개변수를 얻을 수 있는 방법의 수와 일치한다.
• . 실수 재조화군의 경우, Gα(ℝ)가 G(ℂ)/B(ℂ) 위에 작용할 때 개방 궤도의 수는 WG/WKα이며, 각 궤도는 정확히 하나의 불변 선형 형식을 기여하므로, 모든 순수 내부 형식을 통틀어 총 2d개의 불변 형식이 존재한다. 여기서 d는 G(ℂ)의 랭크이다.
• . T_op(ℝ)에서 T(ℂ)로의 성분의 기본 체인지 수는 정확히 2d이며, 이는 순수 내부 형식의 수와 불변 형식의 총 다중도와 일치한다.
• . 아르히메데스 경우의 유니터리 군에 대한 추측은 매개변수 공간의 기하적 구조와 갈로아 군이 성분에 작용하는 방식과 일치하며, ℓ < n일 경우 개방 궤도에서 선형 형식이 0이 된다.