[論文レビュー] A Relaxation Theorem for Differential Inclusions with Applications to Stability Properties

Brian Ingalls, Eduardo D. Sontag+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2002

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可分なバナッハ空間における微分包含の無限時間リラクゼーション定理を確立し、初期状態がリラクゼーションされた包含の初期状態と完全に同一でないが、それほど大きくずれていない場合に、元の包含の軌道がリラクゼーションされた包含の軌道を無限区間上で近似できることを証明している。主な貢献は、有限次元での結果を無限次元状態空間へと拡張したことであり、これにより、摂動を受ける制御系における出力安定性の解析が可能になった。

ABSTRACT

The fundamental Filippov-Wazwski Relaxation Theorem states that the solution set of an initial value problem for a locally Lipschitz inclusion is dense in the solution set of the same initial value problem for the corresponding relaxation inclusion on compact intervals. In our recent work, a complementary result was provided for inclusions with finite dimensional state spaces which says that the approximation can be carried out over non-compact or infinite intervals provided one does not insist on the same initial values. This note extends the infinite-time relaxation theorem to the inclusions whose state spaces are Banach spaces. To illustrate the motivations for studying such approximation results, we briefly discuss a quick application of the result to output stability and uniform output stability properties.

研究の動機と目的

• 微分包含の無限時間リラクゼーション定理を、有限次元から無限次元（バナッハ空間）の状態空間へ一般化すること。
• 古典的なフィリッポフ＝ワゼフスキーの定理が、同一の初期条件を仮定する限りコンパクト区間での近似しか保証しないという制限を克服すること。
• 無限時間スケールでの近似手法を提供することにより、制御理論における出力安定性および一様出力安定性の新たな安定性解析を可能にすること。
• 初期状態を同一に保つ近似が、無限時間にわたり不可能であることを、反例を用いて示すこと。

提案手法

• 重み付きノルムとチューブに基づく構成を用いて、C0ホイットニー位相近似枠組みを無限次元バナッハ空間へ拡張する。
• リラクゼーションされた軌道の初期状態に収束する摂動付き初期値問題の系列を解くことで、近似軌道を構築する。
• 近似誤差を時間とともに制御するために、Hausdorff距離と集合値写像Fの局所リプシッツ連続性を用いる。
• リラクゼーション技術として、閉凸包を用いる： ẋ(t) ∈ clco F(t, x(t)) を用いてリラクゼーションされた包含を定義する。
• 連続する区間上で軌道を再帰的に構成し、近似誤差が基準となるリラクゼーション軌道のまわりで収縮するチューブ内に保たれることを保証する。
• バナッハ空間の位相的性質と前向き完全性を活用して、近似解の存在と収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元系で既に確立された無限時間リラクゼーション定理を、可分なバナッハ空間の状態空間を持つ系へ拡張することは可能か？
• RQ2 初期状態を同一に保つ条件下で、近似誤差関数が減少または定数である場合に、リラクゼーションされた軌道を[0, ∞)上で元の包含の軌道で近似することは可能か？
• RQ3 初期状態を正確に一致させる必要がある場合、このような無限時間近似の制限は何か？
• RQ4 このような近似結果を、摂動を受ける制御系における出力安定性の解析にどのように応用できるか？
• RQ5 誤差境界が定数であっても、初期状態を同一に保つ近似が無限時間にわたり失敗する現象は、依然として成立するか？

主な発見

• 本稿では、任意の[0, ∞)上で定義されたリラクゼーション軌道に対して、与えられた正の関数r(t)で誤差が抑えられ、かつ近似軌道の初期状態をリラクゼーション軌道の初期状態に任意に近づけることができる近似軌道の列が存在することを証明している。
• この結果は、古典的なフィリッポフ＝ワゼフスキーの定理の一般化ではない。なぜなら、初期状態を保証しないからである。代わりに、初期状態の摂動を許容する。
• 定数誤差境界r(t) ≡ ε > 0のもとでも、状態軌道が有界に保たれる必要がある場合、初期状態を同一に保つ近似が、元の包含の解によってリラクゼーション軌道を[0, ∞)上で近似することは不可能であることを示す反例を構築した。
• 本稿では、近似結果が安定性結果の直接的な拡張を可能にすることを示した： oGAS（出力グローバル漸近安定）ならば、前向き完全な系に対してoUGAS（一様出力グローバル漸近安定）が成り立つ。
• 安定性同値性の証明は、無限時間近似結果に依存しており、リラクゼーションされた軌道が重み付きノルムにおいて正規軌道によって一様に近似可能であることを示し、安定性性質が保存されることを示している。