[論文レビュー] A Remark On C^{2,\alpha}-Regularity of the Complex Monge-Ampère Equation

Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ f^{1/n} \in C^\alpha $、$ f \geq \lambda > 0 $、および $ \Delta u \leq \Lambda $ の仮定の下で、複素 Monge-Ampère 方程式 $ \det(u_{\bar{k}j}) = f $ の解について $ C^{2,\alpha} $-正則性を確立する。主な革新は、対称行列上の実行列式の凹で一様強楕円的拡張 $ \tilde{F} $ を構成することであり、これにより複素 Monge-Ampère 方程式が一様強楕円型 PDE に還元され、より小さい球体内で任意の $ \beta < \alpha $ に対して $ C^{2,\beta} $ 正則性が示される。

ABSTRACT

We prove the $C^{2,\alpha}$-regularity of the solution $u$ of the equation [\det(u_{\bar{k} j}) = f, \quad f^{1/n} \in C^{\alpha}, \quad f \geq \lambda] under the assumption in upper bound of $\Delta u$. Our result settles down the regularity problem related to the paper \cite{Tian} (also see \cite{Zhang}).

研究の動機と目的

• 従来の結果よりも弱い仮定の下で、複素 Monge-Ampère 方程式の正則性問題を解消すること。
• $ D^2u \in L^\infty $ の仮定を除き、$ f^{1/n} \in C^\alpha $ および $ \Delta u \leq \Lambda $ のみを仮定した場合に $ C^{2,\alpha} $-正則性を確立すること。
• 関連する集合上で元の行列式と一致する、対称行列上での凹で一様強楕円的拡張 $ \tilde{F} $ を構成すること。
• 解 $ u $ が一様強楕円型 PDE $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ を満たすことを示し、標準的な正則性理論を適用可能にする。

提案手法

• 行列の固有値が制御された集合 $ E_\theta $ 上で、実行列式 $ F(M) = \det_R^{1/2n}[p(M)] $ の凹包として $ \tilde{F}(M) $ を定義する。
• 行列 $ N \in E_\theta $ における下界畳み込みを用いて $ \tilde{F} $ を構成し、凹性および一様強楕円性を保証する。
• 標準的な複素構造 $ J $ および射影 $ p: \text{Sym}(2n) \to \text{Herm}(n) $ を用いて、実行列式と複素行列式を関連付ける。
• $ \tilde{F} $ が、$ \lambda, \Lambda, n $ のみに依存する定数 $ \tilde{\theta} $ を用いて一様強楕円的であることを証明する。
• $ B_1 $ 内のすべての $ x $ に対して $ D^2u(x) \in E_\theta $ であることを示し、$ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ が $ B_{1/2} $ 内で成立することを保証する。
• 標準的な非線形強楕円型理論を適用し、$ \beta < \alpha $ に対して $ u \in C^{2,\beta}(B_{1/2}) $ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ f^{1/n} \in C^\alpha $ および $ \Delta u \leq \Lambda $ の下で、$ D^2u \in L^\infty $ を仮定しない条件下でも、複素 Monge-Ampère 方程式について $ C^{2,\alpha} $-正則性を確立できるか？
• RQ2 行列式の凹な拡張を用いて、複素 Monge-Ampère 方程式を一様強楕円型 PDE に還元することは可能か？
• RQ3 関連する集合上で元の値を保存する、対称行列上での一様強楕円的で凹な行列式拡張の最適な構成は何か？
• RQ4 拡張関数 $ \tilde{F} $ の一様強楕円性は、$ f^{1/n} $ と $ \Delta u $ の下限および上限にどのように依存するか？

主な発見

• 与えられた仮定の下で、$ \det(u_{\bar{k}j}) = f $ の解 $ u $ は、任意の $ \beta < \alpha $ に対して $ B_{1/2} $ 上で $ u \in C^{2,\beta}(B_{1/2}) $ を満たす。
• $ C^{2,\beta} $-ノルムにおける正則性定数 $ C $ は、$ \beta, n, \lambda, \Lambda, \|f^{1/n}\|_{C^\alpha}, \|u\|_{L^\infty} $ のみに依存する。
• 構成された関数 $ \tilde{F} $ は、$ \text{Sym}(2n) $ 上で凹かつ一様強楕円的であり、楕円性定数 $ \tilde{\theta} $ は $ \lambda, \Lambda, n $ のみに依存する。
• 拡張 $ \tilde{F} $ は集合 $ E_\theta $ 上で元の行列式 $ F $ と一致するため、$ B_{1/2} $ 内で $ \tilde{F}(D^2u) = f^{1/n} $ が成立する。
• 従来の研究で用いられた摂動技法を避ける代わりに、直接的に凹包を構成することで一様強楕円性を達成する手法を採用している。