[論文レビュー] A remark on trace properties of K-cycles

Fabio Cipriani, Daniele Guido+1 more|ArXiv.org|Jun 14, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何における $d^+$-summable $K$-cycles に関するトレース定理を厳密に証明し、Connes が主張したように、関数 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$ が代数 $\mathcal{A}$ 上のトレースであることを確認している。さらに、このトレース性質が、追加の正則性条件がなければ、普遍的グレーディング微分代数 $\Omega(\mathcal{A})$ に拡張されないことを示し、$|\lambda| \neq |\mu|$ の場合にトレース性質が成り立たない反例を構成している。

ABSTRACT

In this paper we discuss trace properties of $d^+$-summable $K$-cycles considered by A.Connes in [ fr(Conn4)]. More precisely we give a proof of a trace theorem on the algebra $\A$ of a $K$--cycle stated in [ fr(Conn4)], namely we show that a natural functional on $\A$ is a trace functional. Then we discuss whether this functional gives a trace on the whole universal graded differential algebra $\Q(\A)$. On the one hand we prove that the regularity conditions on $K$-cycles considered in [ fr(Conn4)] imply the trace property on $\Q(\A)$. On the other hand, by constructing an explicit counterexample, we remark that the sole $K$-cycle assumption is not sufficient for such a property to hold.

研究の動機と目的

• Connes が未証明のままに主張した、関数 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$ が $d^+$-summable $K$-cycle の代数 $\mathcal{A}$ 上でトレースであるという主張を厳密に証明すること。
• このトレース関数が普遍的グレーディング微分代数 $\Omega(\mathcal{A})$ に拡張されるかどうかを調査すること。
• 最小限の $K$-cycle の仮定だけでは成立しないが、どのような正則性条件のもとで $\Omega(\mathcal{A})$ 上でトレース性質が成り立つかを特定すること。
• 追加の正則性条件がなければ、任意の $K$-cycle に対して $\Omega(\mathcal{A})$ 上でトレース性質が成り立たないことを示す明示的な反例を構成すること。

提案手法

• 有界な数列上の一般化された極限を用いて定義されるディクスミエ・トレース $\tau_\omega$ を用い、$|D|^{-1}$ の $d^+$-summability を活用して、$\mathcal{A}$ 上の関数 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$ を定義する。
• ノルムイデアルと特異トレースの理論、特に $\mathcal{L}^{1^+}$-イデアルと特異値 $\sigma_n(|D|^{-d})$ の漸近的挙動を応用する。
• 導分 $[D,\cdot]$ のグラフノルムを分析し、$\mathcal{A}$ とその部分代数 $\mathcal{A}_2$ の閉包を比較することで、$|\lambda| \neq |\mu|$ のときの非対角成分に差が生じることを明らかにする。
• 導分 $[D,\cdot]$ の非退化な固有値 $\lambda, \mu$ を持つ特定の $K$-cycle を構成し、$|\lambda| \neq |\mu|$ のとき $\Omega(\mathcal{A})$ 上でのトレース性質が成り立たないことを示す。
• トレース条件 $[[D,a],[D,a^*]]$ を用いて、$\Omega(\mathcal{A})$ 上でのトレース性質が $|\lambda| = |\mu|$ のときにかつそのときにのみ成り立つことを確立する。
• スペクトル分解と $\sigma(b^{-1})$ 上の多項式代数と $\mathcal{A}$ の行列ブロック間の同型を用い、ノルム閉包およびグラフノルム閉包を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Connes が主張したように、関数 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$ は $d^+$-summable $K$-cycle の代数 $\mathcal{A}$ 上でトレースであるか？
• RQ2 ディクスミエ・トレース関数が、どのような条件下で普遍的グレーディング微分代数 $\Omega(\mathcal{A})$ 上のトレースに拡張されるか？
• RQ3 $K$-cycle の公理だけでは、$\Omega(\mathcal{A})$ 上でのトレース性質を保証できるのか、それとも追加の正則性条件が必要か？
• RQ4 $K$-cycle が公理を満たすが $\Omega(\mathcal{A})$ 上でトレースが成り立たない反例は存在するか？
• RQ5 導分 $[D,\cdot]$ の固有値 $\lambda, \mu$ と $\Omega(\mathcal{A})$ 上でのトレース性質との正確な関係は何か？

主な発見

• 関数 $\varphi(a) = \tau_\omega(|D|^{-d}a)$ は代数 $\mathcal{A}$ 上でトレースであることが確認され、Connes の未証明の主張が裏付けられた。
• $\Omega(\mathcal{A})$ 上でのトレース性質は、$[D,\cdot]$ の非対角成分での固有値 $\lambda, \mu$ に対して $|\lambda| = |\mu|$ のときにかつそのときにのみ成り立つ。
• $|\lambda| \neq |\mu|$ の場合に、$K$-cycle の公理だけでは $\Omega(\mathcal{A})$ 上でのトレース性質を保証できないことを示す反例が構成された。
• 代数 $\mathcal{A}$ と $\mathcal{A}_2$ のノルム閉包は一致し、$M_2 \otimes \mathcal{C}_0(\sigma(b^{-1}))$ に同型であるが、グラフノルム閉包は非対角成分で異なる。
• $\mathcal{A}$ のグラフノルム閉包には、0で連続でかつ0で微分可能である関数が含まれるが、$\mathcal{A}_2$ のグラフノルム閉包には0で微分係数が0である関数が要求される。
• $|\lambda| \neq |\mu|$ のとき、$\varphi([[D,a],[D,a^*]]) \neq 0$ であるため、トレース条件を満たさず、$\Omega(\mathcal{A})$ 上でのトレース性質が成立しない。