[論文レビュー] A Remarkable Property of the Dynamic Optimization Extremals

Delfim F. M. Torres|ArXiv.org|Dec 6, 2002

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、関数 $ F(t,x,u,\psi_0,\psi) $ がポントリャーギンの極値曲線に沿って動的発展方程式を満たす一般条件を確立し、よく知られたハミルトニアンの保存則を一般化する。主な貢献は、$ F $ が運動の積分であるための必要十分条件を特定することであり、運動量マップを越えて制御変数に依存する保存量の同定を可能にする。

ABSTRACT

At the core of optimal control theory is the Pontryagin maximum principle - the celebrated first order necessary optimality condition - whose solutions are called extremals and which are obtained through a function called Hamiltonian, akin to the Lagrangian function used in ordinary calculus optimization problems. A remarkable property of the extremals is that the total derivative with respect to time of the corresponding Hamiltonian equals the partial derivative of the Hamiltonian with respect to time. In particular, when the Hamiltonian does not depend explicitly on time, the value of the Hamiltonian evaluated along the extremals turns out to be constant (a property that corresponds to energy conservation in classical mechanics). We present a generalization of the above property. As applications of the new relation, methods for obtaining conserved quantities along the Pontryagin extremals and for characterizing problems possessing given constants of the motion are obtained.

研究の動機と目的

• 極値曲線に沿ったハミルトニアンの保存則を、関数 $ F(t,x,u,\psi_0,\psi) $ のより広いクラスへ一般化すること。
• ポントリャーギンの極値曲線に沿って $ F $ が運動の積分であるための必要十分条件を導出すること。
• 所望の保存量を有する最適制御問題を構成するための手法を開発すること。
• 運動量マップ構造を越えて、$ \psi \cdot C(x) $ の形で表されない保存量を同定すること。

提案手法

• 極値曲線に沿った $ F $ の全微分に関する微分方程式を導出する。その式は $ \frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial H}{\partial \psi} - \frac{\partial F}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial H}{\partial x} $ と表される。
• この関係をハミルトニアン $ H $ に適用し、既知の結果 $ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} $ を回復する。
• 導出された条件を用いて、与えられた関数 $ F $ が極値曲線に沿って保存されるための条件を、$ H $ に関する偏微分方程式を解くことで特定する。
• 特定の保存量を有する最適制御問題の例を構成し、非運動量型不変量を含む。
• 時間不変系や同次系などの特定のケースにおいて、導出された条件を用いて保存則を検証する。
• 式の簡略化と不変性の確認のため、最大性条件 $ \frac{\partial H}{\partial u} = 0 $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ F(t,x,u,\psi_0,\psi) $ がポントリャーギンの極値曲線に沿って一定であるための条件は何か？
• RQ2 運動量マップの形 $ \psi \cdot C(x) $ で表されない保存量は存在するか？
• RQ3 与えられた関数 $ F $ を運動の積分として有する最適制御問題をどのように構成できるか？
• RQ4 ハミルトニアンの保存則 $ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} $ を任意の関数 $ F $ へ一般化するとどうなるか？
• RQ5 時間不変系や同次系などの特定のクラスの問題では、どのような種類の保存量が出現するか？

主な発見

• 関数 $ F $ が極値曲線に沿って $ \frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial H}{\partial \psi} - \frac{\partial F}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial H}{\partial x} $ を満たすのは、導出された条件が成り立つ場合に限り、そのとき成立する。
• $ F $ が極値曲線に沿って運動の積分であるための必要十分条件は、$ \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial H}{\partial \psi} - \frac{\partial F}{\partial \psi} \cdot \frac{\partial H}{\partial x} $ が極値曲線に沿って恒等的に消えることである。
• 本稿では、$ X_i(\lambda x_1) = \lambda X_i(x_1) $ という同次性条件の下で $ F = \psi_1 x_1 + \psi_2 x_2 $ が保存されることを示す問題を構成し、非運動量型保存則の存在を実証した。
• コスト関数 functional が $ \int \frac{L(tx,u)}{t} dt $ である問題において、$ \psi x + H t $ が運動の積分であることが示され、非自明な保存量の例を提示した。
• この条件により、$ H $ に関する偏微分方程式を解くことで、所与の保存量 $ F $ を有する最適制御問題の合成が可能である。
• この手法により、$ \psi \cdot C(x) $ の形で表されない制御依存型保存量、例えば $ F = \psi_3 u_1 - \psi_4 u_2 $ といった量の同定に成功した。