[論文レビュー] A Renormalisation-Group Algorithm for Eigenvalue Density Functions of Interacting Quantum Systems

Tobias J. Osborne|arXiv (Cornell University)|May 8, 2006

Quantum many-body systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元の相互作用する量子スピン系のスムージングされた固有値密度関数を、多項式スケーリングで計算する、証明可能（certifiable）な再正準化群（RG）アルゴリズムを、行列積演算子（MPO）に基づいて提示する。この手法は、数値的に安定した、系統的に改善可能な状態密度の近似を提供し、指定された信頼区間内での基底状態のエネルギー差の正確な推定を可能にする。この手法は、不規則系および臨界系の両方へ適用可能である。

ABSTRACT

We present a certifiable algorithm to calculate the eigenvalue density function -- the number of eigenvalues within an infinitesimal interval -- for an arbitrary 1D interacting quantum spin system. Our method provides an arbitrarily accurate numerical representation for the smeared eigenvalue density function, which is the convolution of the eigenvalue density function with a gaussian of prespecified width. In addition, with our algorithm it is possible to investigate the density of states near the ground state. This can be used to numerically determine the size of the ground-state energy gap for the system to within a prespecified confidence interval. Our method exploits a finitely correlated state/matrix product state representation of the propagator and applies equally to disordered and critical interacting 1D quantum spin systems. We illustrate our method by calculating an approximation to the eigenvalue density function for a random antiferromagnetic Heisenberg model.

研究の動機と目的

• 1次元の相互作用する量子スピン系の固有値密度関数を近似する、数値的に証明可能な手法の開発。
• 標準的なDMRGおよび関連手法に欠如している証明の欠如を克服し、局所的最小値に収束する可能性を回避すること。
• 基底状態近辺の状態密度の解析を通じて、基底状態エネルギー差の正確な推定を可能にすること。
• 並進不変性や非臨界性を仮定しない範囲を越えて、不規則系および臨界量子スピン鎖に一般化すること。
• MPOに基づく伝搬子表現を通じて、スムージングされた固有値密度関数に対する多項式時間で、系統的な近似を提供すること。

提案手法

• 時間発展演算子 $ U(t) = e^{-iHt} $ の行列積演算子（MPO）表現を用い、ハミルトニアンを偶数サイトおよび奇数サイトの相互作用に分解するためのLie-Trotter分割を活用する。
• 短時間発展演算子 $ W = e^{iA\frac{t}{m}}e^{iB\frac{t}{m}} $ を繰り返し合成することでMPO表現を逐次構築し、補助次元を制御するためのヒルベルト＝シュミットノルム最小化による切断を施す。
• MPO近似 $ \widetilde{V}(t) $ のトレースを、トレース則 $ \operatorname{tr}(\sigma^\alpha) = \delta_{\alpha,0} $ を用いて効率的に計算し、離散的時間系列 $ g_k \sim \operatorname{tr}(W^k) $ を得る。
• 高周波数ノイズを低減し、滑らかなスムージングされた固有値密度の近似を得るために、時間系列にガウス窓関数 $ e^{-k^2/(2s^2)} $ を適用する。
• 窓関数をかけた時間系列に離散フーリエ変換を適用し、スムージング密度 $ \widetilde{\mu}_H(x) $ の周波数領域表現を取得する。サンプリングはナイキスト基準によって制御される。
• 本手法は、最終出力にすべての固有値が含まれることを保証し、スムージングによる制御された不確実性に、正確な固有値の局在化を譲渡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の相互作用する量子スピン系の固有値密度関数を、制御された誤差境界で計算する証明可能なアルゴリズムを開発できるか？
• RQ2 系統的な近似手法を用いて、所定の信頼区間内で基底状態エネルギー差を数値的に推定できるか？
• RQ3 本手法は、並進不変性や非臨界性を仮定しない状況、例えば不規則系や臨界系のスピン鎖に適用可能か？
• RQ4 本アルゴリズムのスケーリング特性は、系のサイズおよび所望の精度に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 MPOに基づく切断戦略は、時間発展演算子の近似において、計算コストと忠実度のバランスをどのようにとるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、スムージング幅 $ s $ を制御することで誤差を制御可能な多項式スケーリングによる、スムージングされた固有値密度関数 $ \widetilde{\mu}_H(x) $ の計算手法を提供する。
• 本手法は、標準的DMRGのような非証明可能な手法が直面する状態の漏れのリスクを回避し、出力にすべての固有値が含まれることを保証する。
• 基底状態エネルギー差は、事前に指定された信頼区間内で推定可能であり、量子スピン鎖におけるスペクトルギャップの信頼性のある数値的解析を可能にする。
• 20スピンのランダム反強磁性ヘイゼンベルグ模型に対して、本手法は高い分解能で状態密度を的確に捉えることに成功し、実用的応用の有効性を示している。
• MPOの切断手順により、補助次元が系のサイズに対して多項式的にしか増加しないことが保証され、大規模系へのスケーラビリティが達成される。
• 修正されたMPO技術を用いることで、本手法は1次元を超える次元へ一般化可能であり、1次元系を超える応用範囲を拡張する。