[論文レビュー] A representation of exchangeable hierarchies by sampling from real trees

Noah Forman, Chris Haulk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 54被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、確率測度を備えた無限重み付き実木（random weighted real tree）から独立同一分布に従う点をサンプリングすることによって、正の整数上の交換可能な階層の表現を確立する。すべての交換可能な階層は、確率測度を備えたランダムな実木から生じるか、[0,1] 上の階層と独立同一分布に従う一様ラベルから生じることを示し、ランダム木埋め込みと駆動測度の原子的・連続的・拡散的成分への分解を用いて、完全な確率的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

A hierarchy on a set $S$, also called a total partition of $S$, is a collection $\mathcal{H}$ of subsets of $S$ such that $S \in \mathcal{H}$, each singleton subset of $S$ belongs to $\mathcal{H}$, and if $A, B \in \mathcal{H}$ then $A \cap B$ equals either $A$ or $B$ or $\varnothing$. Every exchangeable random hierarchy of positive integers has the same distribution as a random hierarchy $\mathcal{H}$ associated as follows with a random real tree $\mathcal{T}$ equipped with root element $0$ and a random probability distribution $p$ on the Borel subsets of $\mathcal{T}$: given $(\mathcal{T},p)$, let $t_1,t_2, ...$ be independent and identically distributed according to $p$, and let $\mathcal{H}$ comprise all singleton subsets of $\mathbb{N}$, and every subset of the form $\{j: t_j \in F_x\}$ as $x$ ranges over $\mathcal{T}$, where $F_x$ is the fringe subtree of $\mathcal{T}$ rooted at $x$. There is also the alternative characterization: every exchangeable random hierarchy of positive integers has the same distribution as a random hierarchy $\mathcal{H}$ derived as follows from a random hierarchy $\mathscr{H}$ on $[0,1]$ and a family $(U_j)$ of IID uniform [0,1] random variables independent of $\mathscr{H}$: let $\mathcal{H}$ comprise all sets of the form $\{j: U_j \in B\}$ as $B$ ranges over the members of $\mathscr{H}$.

研究の動機と目的

• 正の整数上の交換可能な階層の分布を、ランダムな実木を用いて特徴付けること。
• 確率測度を備えたランダムな重み付き実木から独立同一分布に従う点をサンプリングすることによって、交換可能な階層の確率的表現を確立すること。
• [0,1] 上の階層と独立同一分布に従う一様ラベルを用いた代替表現を提供すること。
• 駆動測度を原子的・連続的・拡散的成分に分解する構造的分解を検討すること。
• 分割の文脈におけるde Finetti型定理を階層的設定に拡張し、独立生成と交換可能性を満たす条件を同定すること。

提案手法

• 交換可能な階層から、可測写像を介してランダムな根付きで重み付きの実木 (T, 0, ℓ₁, p) を構成する。
• 木 T 上の測度 p から独立同一分布に従う点 (t_j) をサンプリングし、各頂点 x ∈ T におけるフレイム部分木 F(x) に対して、集合 {j : t_j ∈ F(x)} を用いて階層 H を定義する。
• 代替表現の利用：[0,1] 上の階層 H を生成し、独立同一分布に従う一様分布 [0,1] の変数 (U_j) を生成し、B ∈ H に対して H を {j : U_j ∈ B} として定義する。
• 木上の駆動測度 p を、純粋に原子的（爆発）、連続的（侵食）、拡散的（大規模ブロックの生存）の3つの成分の和としてほぼ確実に分解する。
• EPPF（交換可能な分割確率関数）フレームワークを用いて、階層的構造と確率測度、対称多項式を結びつける。
• Kingman単体と単項対称多項式を用いて、EHPF（交換可能な階層確率関数）を単体上の積分として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の整数上のすべての交換可能な階層は、確率測度を備えたランダムな実木から独立同一分布に従う点のサンプリングとして表現可能か？
• RQ2 木上の駆動測度 p の原子的・連続的・拡散的成分への構造的分解は何か？それぞれは階層において何を意味するか？
• RQ3 交換可能な階層におけるEPPF表現の包括的類似物は存在するか？特に、順序付き分割プロセスを超える拡張が可能か？
• RQ4 階層の分布が[0,1] 上の階層と一様ラベルを用いて生成されるのはどのような条件下か？
• RQ5 2つのランダムな木-測度ペair間の同型性は、位相的および測度論的不変量のみで特定可能か？

主な発見

• すべての正の整数 ℕ 上の交換可能な階層は、分布的に独立同一分布に従う点のサンプリングによって生成されるランダムな重み付き実木 (T, 0, p) からのものとして現れる。各ブロックは、フレイム部分木に落ちる点に対応する。
• [0,1] 上の階層と独立同一分布に従う一様分布 [0,1] のラベルを用いた同等の表現が存在する。この場合、ブロックはラベル集合が階層の要素に属するような集合として定義される。
• 木上の駆動測度 p は、ほぼ確実に3つの成分に分解可能である：p_a（原子的、爆発を表す）、p_s（連続的、侵食を表す）、p_l（拡散的、大規模ブロックの生存を表す）。
• EHPF（交換可能な階層確率関数）は、互いに素な集合に対して積の法則を満たす成分に一意に分解可能であり、独立に生成される階層を特徴付ける。
• EHPF は、単項対称多項式を用いて Kingman 単体上の積分として表現可能であり、EPPF フレームワークを階層へと一般化する。
• 本論文は、階層に対する de Finetti 型定理を確立し、交換可能性と独立生成が、実木上の確率測度を用いた表現を意味することを示している。