[논문 리뷰] A Representation of Real and Complex Numbers in Quantum Theory

Paul Benioff|ArXiv.org|2005. 08. 29.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 큐비트 스트링으로 구성된 양자 상태의 코시 수열의 동치류를 사용하여 실수와 복소수의 양자 이론적 표현을 제안한다. 2차원 격자에서 생성/소멸 연산자를 정의하고 유리수에 대한 포크 공간 상태를 구성함으로써 산술 연산을 코시 수열로 확장하여 고전적 R 또는 C를 언급하지 않고도 완전한 수 체계를 도출한다. 이는 개별 항이 얽힘되어 있어도 양자 중첩이 실수를 표현할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

A quantum theoretic representation of real and complex numbers is described here as equivalence classes of Cauchy sequences of quantum states of finite strings of qubits. There are 4 types of qubits each with associated single qubit annihilation creation (a-c) operators that give the state and location of each qubit type on a 2 dimensional integer lattice. The string states, defined as finite products of creation operators acting on the qubit vacuum state correspond to complex rational numbers with real and imaginary components. These states span a Fock space. Arithmetic relations and operations are defined for the string states. Cauchy sequences of these states are defined, and the arithmetic relations and operations lifted to apply to these sequences. Based on these, equivalence classes of these sequences are seen to have the requisite properties of real and complex numbers. The representations have some interesting aspects. Quantum equivalence classes are larger than their corresponding classical classes, but no new classes are created. There exist Cauchy sequences such that each state in the sequence is an entangled superposition of the real and imaginary components, yet the sequence is a real number. Also, except for coefficients of superposition states, the construction is done with no reference to the real and complex number base, R and C, of the Fock space.

연구 동기 및 목표

• 유한 큐비트 스트링을 사용하여 고전적 수의 기반에 의존하지 않고 실수와 복소수의 양자 이론적 기초를 마련하는 것.
• 유한 시스템에서의 물리적 계산과 실수/복소수의 수학적 완전성 간 격차를 양자 코시 수열을 통해 메우는 것.
• 고전적 수의 기반 없이도 양자 표현이 실수와 복소수의 대수적 및 위상적 구조를 유지할 수 있는지 탐색하는 것.
• 양자 중첩과 얽힘이 양자 이론 내 수 체계 구축에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 수 체계를 양자 형식에 통합함으로써 물리학과 수학의 통합 이론을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 진공 상태에 유한한 생성 연산자 곱이 작용하여 포크 공간 F에서 복소 유리수를 생성하는 상태를 구성한다.
• 2차원 정수 격자에 위치한 4종류의 큐비트를 정의하여 상태와 위치를 인코딩하기 위해 서로 다른 소멸/생성 연산자를 할당한다.
• 스트링 상태에 대해 산술 연산(덧셈, 곱셈)을 정의하고 이를 이러한 상태의 코시 수열으로 확장한다.
• 실수와 복소수는 포크 공간 내 유리수 상태의 코시 수열의 동치류로 표현된다.
• 고전적 R 또는 C에 직접적인 참조 없이 R과 C는 이러한 수열의 동치류로 유도된다.
• 차의 노름을 통한 거리 함수를 정의하여 수열 공간에 거리 구조를 도입함으로써 R^{ψ_n}과 C^{ψ_n}이 완비 거리공간임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 큐비트 스트링만을 사용하여 양자 이론 내에서 실수와 복소수를 일관적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 양자 중첩과 얽힘이 코시 수열 내 실수 표현에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 고전적 수 체계(R, C)와 그에 대응하는 양자로 구성된 체계(R^{ψ_n}, C^{ψ_n}) 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 동일한 물리계가 표준 포크 공간과 양자 수 기반의 포크 공간(F^{ψ_n}) 양쪽 모두로 기술될 수 있는가?
• RQ5 점차적으로 더 복잡한 수 체계를 갖는 포크 공간의 계층적 구조를 반복적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 실수와 복소수는 유한 큐비트 스트링의 양자 상태 수열의 동치류로 표현되며, 대수적 및 위상적 구조를 유지한다.
• 양자 동치류는 고전적 동치류보다 더 크지만, 새로운 수의 종류는 생성되지 않아 고전 수학 이론과 일관성을 유지한다.
• 코시 수열은 실수 및 허수 성분의 얽힌 중첩을 포함할 수 있지만 여전히 실수로 수렴할 수 있으며, 이는 수 표현에서 비트리플한 양자 행동을 보여준다.
• 이 구성은 고전적 기반 R 또는 C에 의존하지 않으며, 모든 수 체계는 양자 상태와 수열에서 유도되어 순환성을 피한다.
• 차의 노름을 통한 거리 함수를 정의함으로써 R^{ψ_n}과 C^{ψ_n}이 완비 거리공간임을 확인한다.
• 이 틀은 점차 더 복잡한 수 체계를 갖는 포크 공간의 반복적 계층 구조를 가능하게 하며, 기초 물리학과 양자 수학의 새로운 연구 방향을 열어준다.