[論文レビュー] A residue formula for the fundamental Hochschild 3-cocycle for SUq(2)

Ulrich Kraehmer, Adam Rennie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2011

Advanced Operator Algebra Research被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$SU_q(2)$ 上の非自明なねじれ Hochschild 3-コサイクルに対して、有界交換子の失敗を克服するための射影に基づくカットオフを施した変更されたスペクトル三重項フレームワークを用いて、残留公式を構築する。得られたコサイクルは、基本的な Hochschild 3-コサイクルの非ゼロ倍数として示され、標準的な有限和可能性条件を満たさないにもかかわらず、ホモロジー次元 3 が成立することを確立する。

ABSTRACT

An analogue of a spectral triple over SUq(2) is constructed for which the usual assumption of bounded commutators with the Dirac operator fails. An analytic expression analogous to that for the Hochschild class of the Chern character for spectral triples yields a non-trivial twisted Hochschild 3-cocycle. The problems arising from the unbounded commutators are overcome by defining a residue functional using projections to cut down the Hilbert space.

研究の動機と目的

• スペクトル三重項枠組みにおいて有界交換子が成立しない状況下でも、残留公式を用いて $SU_q(2)$ の基本的 Hochschild 3-コサイクルを回復すること。
• 未定義の交換子による解析的障害を克服し、$SU_q(2)$ におけるモジュラー スペクトル三重項の概念を拡張すること。
• 残留コサイクルのコhomology類が基本的クラスと一致することを示し、真のホモロジー次元 3 を捉えること。
• 標準的なスペクトル三重項公理の失敗にもかかわらず、ヒルベルト空間の部分空間上でねじれトレースおよび残留汎関数を定義し、和可能性を実現すること。

提案手法

• ヒルベルト空間上に射影 $Q$ を用いて紫外カットオフを実装する残留汎関数 $\tau$ を定義し、$\mathcal{D}$ の部分空間上の有限和可能性を可能にする。
• 有界交換子が $\mathcal{D}$ と成立しない、多項式代数 $\mathcal{A} = \mathcal{O}(SU_q(2))$ 上のスペクトル三重項 $(\mathcal{A}, \mathcal{H}, \mathcal{D})$ の類似物を構築する。
• 多項式的および指数的固有値成長を示す演算子を取り扱うために、ゼータ関数の単純関数的拡張を用い、補題 4.2 で和可能性の結果を証明する。
• 残留コサイクルを $\phi_{\mathrm{res}}(a_0,\dots,a_3) = \tau\left(a_0[\mathcal{D},a_1][\mathcal{D},a_2][\mathcal{D},a_3]\right)$ と定義し、適切な部分代数上のねじれトレースである $\tau$ を用いる。
• ハア状態のモジュラー理論と関連付けるために、モジュラー自己同型 $\Delta$ と演算子 $=\hat{\Delta}_L$ を活用する。
• 明示的な $\pi_1$ および $\pi_2$ 成分の計算と、量子群上の積分を用いて、$\phi_{\mathrm{res}}$ が既知のコサイクル $\varphi$, $\varphi_{213}$ などと一致することを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル三重項において有界交換子が成立しない状況下でも、残留公式が $SU_q(2)$ 上の基本的 Hochschild 3-コサイクルを回復できるか？
• RQ2 有界でない交換子が存在する状況下でも、ヒルベルト空間の部分空間上でねじれトレースおよび残留汎関数を定義し、有限和可能性を達成できるか？
• RQ3 得られたコサイクルは、従来のチェーン・キャラクター計算で観察された次元の低下（次元 1 にまで低下）を回避し、真のホモロジー次元 3 を捉えているか？
• RQ4 $SU_q(2)$ 上のハア状態のモジュラー構造は、非自明な 3-コサイクルの構成をどのように支援するか？
• RQ5 残留コサイクルと $SU_q(2)$ の基本的クラスとの間の明確なコhomological 関係は何か？

主な発見

• 残留コサイクル $\phi_{\mathrm{res}}$ は、$\mathcal{A}^{\times 4}$ 上で定義され、値が $\mathbb{C}$ にとる、適切に定義された、4重線形なねじれ Hochschild 3-コサイクルである。
• コサイクル $\phi_{\mathrm{res}}$ は非自明であり、そのコhomology類は、$SU_q(2)$ の基本的 Hochschild 3-コサイクルの非ゼロ倍数である。
• $\phi_{\mathrm{res}}$ の基本的サイクル $dvol$ への評価は $\langle \phi_{\mathrm{res}}, dvol \rangle = 3R(q^{-1} + q)$ を与え、非自明なペアリングを確認する。
• 残留汎関数 $\tau$ は適切な部分代数上でねじれトレースである。その定義域には、三つの交換子の積 $a_0[\mathcal{D},a_1][\mathcal{D},a_2][\mathcal{D},a_3]$ が含まれる。
• 射影に基づくカットオフと単純関数的拡張を用いることで、有界交換子の失敗を克服し、一般化された意味での和可能性を実現する。
• この手法により、$SU_q(2)$ のホモロジー次元 3 が成功裏に回復され、以前のチェーン・キャラクター計算で観察された「次元低下」問題が解決された。