[論文レビュー] A Resolution of the Sommerfeld Paradox

Y. Charles Li, Zhiwu Lin|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Sommerfeldのパラドックスを解消する。非定常なせん断流の系列が運動エネルギーノルムではCouette流れに近づくが、渦度ノルムでは近づかないこと、線形不安定性が発現し、一時的な非線形増幅と乱流への遷移を引き起こすことを示している。これは、高レイノルズ数下で任意に小さな摂動に対しても成立する。不安定性は、Orr-Sommerfeld固有値が無粘性極限に近づくことによって生じ、形式的な線形安定性にもかかわらず、実験的に観察された遷移を説明するメカニズムを提供する。

ABSTRACT

Sommerfeld paradox roughly says that mathematically Couette linear shear is linearly stable for all Reynolds number, but experimentally arbitrarily small perturbations can induce the transition from the linear shear to turbulence when the Reynolds number is large enough. The main idea of our resolution of this paradox is to show that there is a sequence of linearly unstable shears which approaches the linear shear in the kinetic energy norm but not in the enstrophy (vorticity) norm. These oscillatory shears are single Fourier modes in the Fourier series of all the shears. In experiments, such linear instabilities will manifest themselves as transient nonlinear growth leading to the transition from the linear shear to turbulence no matter how small the intitial perturbations to the linear shear are. Under the Euler dynamics, these oscillatory shears are steady, and cat's eye structures bifurcate from them as travelling waves. The 3D shears $U(y,z)$ in a neighborhood of these oscillatory shears are linearly unstable too. Under the Navier-Stokes dynamics, these oscillatory shears are not steady rather drifting slowly. When these oscillatory shears are viewed as frozen, the corresponding Orr-Sommerfeld operator has unstable eigenvalues which approach the corresponding inviscid eigenvalues when the Reynolds number tends to infinity. All the linear instabilities mentioned above offer a resolution to the Sommerfeld paradox, and an initiator for the transition from the linear shear to turbulence.

研究の動機と目的

• Couette流れは数学的には線形安定であるが、高レイノルズ数下で小さな摂動によって実験的に乱流に遷移することのパラドックスを解消すること。
• 基本的なせん断流の線形安定性にもかかわらず、一時的な非線形増幅を引き起こすメカニズムを同定すること。
• L^2速度ノルムではCouetteプロファイルに近づくが、L^2渦度ノルムでは近づかない、せん断流の系列における線形不安定性を示すこと。
• R \to \infty のとき、Orr-Sommerfeld作用素を通じて、無粘性線形不安定性と粘性不安定性を結びつけること。
• これらの非定常せん断流の周囲の3次元せん断流 U(y,z) も線形不安定であることを示し、不安定性メカニズムの頑健性を支持すること。

提案手法

• 運動エネルギーノルムではCouetteプロファイルに収束するが、渦度ノルムでは収束しない、2次元非定常せん断流 U_n(y) = y + \frac{A}{n}\sin(4n\pi y) の系列を構築し、\frac{1}{2} < \frac{1}{4\pi} < A < \frac{1}{4\pi} を満たす。
• 無粘性Rayleigh方程式と粘性Orr-Sommerfeld方程式を用いて、これらのせん断流の線形安定性を解析し、Orr-Sommerfeld作用素に不安定固有値が存在することを示す。
• 粘性問題の不安定固有値が R \to \infty のとき無粘性固有値に近づくことを証明し、粘性不安定性と無粘性極限を結びつける。
• 分岐理論を用いて、Euler力学下で非定常せん断流から定常的な猫の目構造が旅行波として出現することを示す。
• 非定常せん断流の周囲の3次元せん断流 U(y,z) について、Navier-Stokes力学下での不安定性解析を拡張し、線形不安定性を証明する。
• 関数解析的手法（Fredholmの補題と H^m-ノルム推定）を用いて、3次元設定におけるベクトル場再構成問題の解の存在と一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜCouette流れは、すべてのレイノルズ数で線形安定であるにもかかわらず、高レイノルズ数下で小さな摂動によって実験的に乱流に遷移するのか？
• RQ2 運動エネルギーではあるが渦度ノルムでは近づかないCouetteプロファイルに近づく線形不安定なせん断流の系列を構築できるか？
• RQ3 これらのせん断流におけるOrr-Sommerfeld作用素の不安定固有値は、レイノルズ数が無限大に近づくときどのように振る舞うか？
• RQ4 非正規性とノルムの選択（エネルギー対渦度）が、一時的増幅と乱流への遷移を説明する役割を果たすか？
• RQ5 これらの非定常せん断流の周囲の3次元せん断流 U(y,z) も線形不安定であるか？ これにより、高次元における不安定性メカニズムの頑健性が支持されるか？

主な発見

• 非定常せん断流 U_n(y) = y + \frac{A}{n}\sin(4n\pi y) は L^2速度ノルムではCouetteプロファイルに近づくが、L^2渦度ノルムでは近づかない。これはパラドックスを解消するための主要条件を満たす。
• これらの非定常せん断流は、無粘性Euler力学下で線形不安定であり、Rayleigh方程式から不安定固有値が生じ、分岐によって定常的な猫の目構造が出現する。
• Navier-Stokes力学下では、これらの非定常せん断流は定常ではなくゆっくりと移動する。対応するOrr-Sommerfeld作用素には不安定固有値があり、R \to \infty のとき無粘性固有値に収束する。
• 非定常せん断流の周囲の3次元せん断流 U(y,z) の線形不安定性が確立され、不安定性メカニズムが2次元流を超えて拡張されることを示した。
• 解析により、小さな運動エネルギー（小さな L^2速度ノルム）だが大きな渦度ノルムを持つ摂動でさえも線形不安定であることが判明し、小さな初期摂動が遷移を引き起こす理由が説明された。
• この解決は、ノルムの選択に根本的に依存している。vorticity L^2ノルムにおけるRomanovの非線形安定性結果は、エネルギーが小さいが渦度が大きい摂動には適用されないため、不安定性が発生しうる。