[論文レビュー] A result of Lemmermeyer on class numbers

Paul Monsky|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、素数 $ p \equiv 9 \pmod{16} $ に対して、純四次体 $ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数が $ 2 \pmod{4} $ に合同である、フランツ・レーマーマイアーによる非条件的証明を提示する。ガウスの実二次体の類数に関する結果と、二度のアーマブル類数公式の応用により、中間拡大体における類数の奇数性を確立し、$ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数が 2 で割り切れるが 4 で割り切れないことを示している。

ABSTRACT

I present Franz Lemmermeyer's proof that if p is a prime congruent to 9 mod 16 then the class number of Q(p^(1/4)) is congruent to 2 mod 4.

研究の動機と目的

• 素数 $ p \equiv 9 \pmod{16} $ に対して $ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数を特定し、以前はバーチ＝スウィンナートン＝ダイヤー予想に依存していた予想を解消すること。
• 代数的数論の道具を用いて、類数の合同関係 $ h(\mathbb{Q}(p^{1/4})) \equiv 2 \pmod{4} $ を条件なしに証明すること。
• 素数 $ p \equiv 9 \pmod{16} $ のとき、$ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数が偶数であるが 4 で割り切れないことを示し、長年の予想を確認すること。
• 拡大体 $ F(p^{1/4}) $（$ F $ は $ \mathbb{Q}(\mu_p) $ の最大実部分体）が $ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の分岐しない二次拡大であることから、類数が 4 で割り切れないことの帰結を得ること。

提案手法

• 拡大体 $ k(\sqrt{\epsilon})/k $ にアーマブル類数公式を適用する。ここで $ k = \mathbb{Q}(\sqrt{p}) $ であり、$ \epsilon $ はノルム $-1$ の基本単数である。
• 類数が奇数である $ k = \mathbb{Q}(\sqrt{p}) $ であり、$ \epsilon $ がノルム $-1$ を持つことを利用して、$ k(\sqrt{\epsilon}) $ における分岐およびノルム条件を分析する。
• 局所的解析を 2 と $ \sqrt{p} $ において行い、$ k(\sqrt{\epsilon}) $ に分岐する $ k $ の素点はちょうど二つであることを示す：一つは無限素点、もう一つは $ \sqrt{p} $ 上にある素点。
• 再びアーマブル類数公式を拡大体 $ F(\sqrt{\epsilon})/k(\sqrt{\epsilon}) $ に適用し、$ p \equiv 9 \pmod{16} $ のとき、アーマブル類数が奇数であることを示す。
• $ \sqrt{\epsilon} $ が $ k(\sqrt{\epsilon}) $ の $ \sqrt{p} $ 上の二つの素点で局所的ノルムでないことを証明し、これにより $ j $ が偶数であり、したがってアーマブル類数が奇数であることを示す。
• 類体論と $ F(p^{1/4}) $ が $ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の分岐しない二次拡大であることの事実を組み合わせ、$ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数が $ \equiv 2 \pmod{4} $ であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p \equiv 9 \pmod{16} $ のとき、$ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数は何か？ また、4 で割り切れるか？
• RQ2 類数の合同関係 $ h(\mathbb{Q}(p^{1/4})) \equiv 2 \pmod{4} $ は、バーチ＝スウィンナートン＝ダイヤー予想を仮定せずに非条件的に証明可能か？
• RQ3 アーマブル類数公式は、ガロア群が複数段階の拡大体において類数の偶奇をどのように特定するのを助けるか？
• RQ4 なぜ $ p \equiv 9 \pmod{16} $ のとき、$ \sqrt{\epsilon} $ が $ k(\sqrt{\epsilon}) $ の $ \sqrt{p} $ 上の素点で局所的ノルムでないのか？
• RQ5 $ k(\sqrt{\epsilon}) $ における $ (\sqrt{p}) $ の分解挙動は、類数の議論においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 素数 $ p \equiv 9 \pmod{16} $ のとき、$ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数は $ 2 \pmod{4} $ に合同であり、2 で割り切れるが 4 で割り切れないことを意味する。
• 拡大体 $ F(p^{1/4}) $（$ F $ は $ \mathbb{Q}(\mu_p) $ の最大実部分体）は $ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の分岐しない二次拡大であり、$ \mathbb{Q}(p^{1/4}) $ の類数が 4 で割り切れないことを示している。
• 類数 $ k(\sqrt{\epsilon}) = \mathbb{Q}(\sqrt{p}, \sqrt{\epsilon}) $ は奇数である。これはアーマブル類数公式と、分岐する無限素点において $ -1 $ が局所的ノルムでないという事実により示される。
• アーマブル類数 $ F(\sqrt{\epsilon})/k(\sqrt{\epsilon}) $ は $ p \equiv 9 \pmod{16} $ のとき奇数であり、これは $ \sqrt{\epsilon} $ が $ \mathbb{F}_p^* $ において原始8乗根に合同であり、$ \mathbb{F}_p^* $ において平方でないためである。
• $ k $ の素点 $ (\sqrt{p}) $ は $ k(\sqrt{\epsilon}) $ で分解し、その両方の上に $ F(\sqrt{\epsilon}) $ で分岐する。これはアーマブル類数の計算において不可欠である。
• 証明は二度のアーマブル類数公式の応用に依拠しており、バーチ＝スウィンナートン＝ダイヤー予想の仮定を避け、長年の予想に対する非条件的解決を提供している。