[論文レビュー] A review of the large N limit of tensor models

Razvan Gurău|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダムテンソルモデルにおける$1/N$展開の最近の発展をレビューし、次元がより高い場合への行列モデルの枠組みの一般化を提示する。カラーテンソルモデルは、次数によってインデックス付けされた$1/N$展開を支持しており、メロン的グラフが主要なオーダーを占め、球面を三角形分割することを示している。これにより、連続的なランダム空間への相転移を示す、高次元ランダム幾何の制御された理論が可能になる。

ABSTRACT

Random matrix models encode a theory of random two dimensional surfaces with applications to string theory, conformal field theory, statistical physics in random geometry and quantum gravity in two dimensions. The key to their success lies in the 1/N expansion introduced by 't Hooft. Random tensor models generalize random matrices to theories of random higher dimensional spaces. For a long time, no viable 1/N expansion for tensors was known and their success was limited. A series of recent results has changed this situation and the extension of the 1/N expansion to tensors has been achieved. We review these results in this paper.

研究の動機と目的

• ランダムテンソルモデルにおける有効な$1/N$展開の欠如が、もともと高次元ランダム幾何の解析的制御を妨げていたという問題に対処すること。
• カラーテンソルモデルが次数によってインデックス付けされた$1/N$展開を支持することを確立すること。これにより、行列モデルの$1/N$展開が高次元に一般化される。
• メロン的グラフ—任意の次元で球面を三角形分割する—が大N極限において支配的であり、和が収束する族を形成することを示すこと。
• これらのモデルが、2次元における行列モデルと類似した、連続的かつ無限に細分化されたランダム空間の理論への相転移を経ることを示すこと。
• $1/N$展開の背後にある代数的構造を特定することで、量子重力および共形場理論と関連付けること。

提案手法

• 本稿は、$\otimes_{i=1}^D U(N)$の作用下でのランダム複素テンソルの不変確率測度を分析し、同じ色のインデックスを縮約することで構成されるトレース不変量を用いる。
• トレース不変量を表すために$D$色付きグラフを用い、各色がテンソルのインデックスをラベル付けし、辺が縮約を表す。
• $1/N$展開は、主にメロン的グラフが双対表現における木に対応するというカラーテンソルモデルの枠組みを用いて導出される。
• グラフの次数が、行列モデルにおけるジャンルを一般化する$1/N$展開をインデックスづける主要な位相的不変量として導入される。
• 本稿は、$D$色付きグラフにおけるリー代数構造（拡大作用素を含む）を用い、任意次元における共形場理論と接続する。
• 高次元における共形対称性を完全に実現するためには、リー代数をバーバック部分のヴィラソロ代数で完成させる必要があると特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム行列からランダムテンソルモデルへの$1/N$展開の一般化は、任意の次元で可能か？
• RQ2 行列モデルにおけるジャンルを一般化するテンソルモデルの位相的不変量は何か？
• RQ3 テンソルモデルにおけるメロン的グラフは、大N極限において支配的であり、任意の次元で球面を三角形分割するか？
• RQ4 テンソルモデルにおける$1/N$展開は、連続的かつ無限に細分化されたランダム幾何への相転移を引き起こすか？
• RQ5 $1/N$展開の代数的構造は、高次元における共形場理論とどのように関連付けることができるか？

主な発見

• カラーテンソルモデルは、グラフの次数によってインデックスづけられた$1/N$展開を支持しており、行列モデルのジャンル展開を一般化する。
• メロン的グラフが大N極限において支配的であり、任意の$D$において$D$次元球面を三角形分割し、和が収束する族を形成する。
• 主要なオーダーのグラフは、双対表現における木と一対一に対応しており、展開の収束を保証する。
• これらのモデルは、行列モデルにおける連続的極限と類似した、連続的かつ無限に細分化されたランダム幾何の理論への相転移を経る。
• $1/N$展開の枠組みは、テンソル群場理論における自己エネルギーの流れを介した動的実現を支持し、少なくとも2つの簡単な場合で漸近的自由性を示す。
• $D$色付きグラフのリー代数は、拡大作用素を含み、任意次元における共形場理論と接続するためには、ヴィラソロ代数の負部分で完成させる必要がある。