[論文レビュー] A Review on Realization Theory for Infinite-Dimensional Systems

Birgit Jacob, Hans Zwart|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、右半平面上で正則かつ有界な任意の関数 $ G(s) $ が、強い連続半群を生成する非有界作用素 $ A $、および適切な制御作用素 $ B $ と観測作用素 $ C $ を用いた状態空間表現を有することを証明することにより、無限次元系の包括的な実現理論を確立する。主な貢献は、伝達関数と適切に定義された線形系との間の統一的な枠組みを提供し、長年の理論的未解決問題を明示的な作用素論的構成により解消することにある。

ABSTRACT

We give an introduction to the realisation theory for infinite-dimensional systems. That is, we show that for any function $G$, analytic and bounded in the right half of the complex plane, there exists operators $A,B,C$ such that $G(s_1)-G(s_2) = (s_2-s_1) C(s_1 I-A)^{-1}(s_2 I-A)^{-1}B$. Here $A$ is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup on a Hilbert space, and $B$ and $C$ are admissible input and output operators, respectively. Our results summarise and clarify the results as found in the literature, starting more than 40 years ago.

研究の動機と目的

• 無限次元系の実現理論に関する数十年にわたる研究を統合・明確化すること。
• 右半平面上で正則かつ有界な関数に対して、状態空間実現の存在を確立すること。
• 半群理論と適切な作用素を用いて、伝達関数と適切に定義された線形系との間の関係を形式化すること。
• 無限次元における可制御性、可観測性、実現の同値性に関する基礎的問題を解消すること。
• 無限次元系理論の研究者にとって自立的かつアクセス可能な参考文献を提供すること。

提案手法

• 適切な線形系の理論、特にサラモンとウェイズの枠組みを用いて、適切な制御作用素と観測作用素を定義する。
• 重み付き $ L^2 $-ノルムを持つ関数空間 $ V $ を構成し、$ V $ 上に半群 $ T(t) $ を定義する。
• 制御作用素と観測作用素の適切性を保証するために、より大きなヒルベルト空間 $ V_1 $ への状態空間の拡張を導入する。
• 制御作用素 $ B_1 = G $ と観測作用素 $ C_1x = \hat{x}(0) $ を定義し、ノルム推定を用いてその適切性を示す。
• ラプラス変換とペイリー＝ウィーナの定理を用いて、$ L^2 $-関数と右半平面上の $ H^2 $-空間との関係を確立する。
• 解像作用素の恒等式と作用素拡張技術を用いて、伝達関数の恒等式 $ G(s) - G(z) = (z - s)C(sI - A)^{-1}(zI - A)^{-1}B $ の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右半平面上で正則かつ有界な任意の関数は、無限次元の適切に定義された線形系の伝達関数として実現可能か？
• RQ2 このような系に対して、適切な制御作用素と観測作用素の存在を保証する条件は何か？
• RQ3 近似的可制御性や近似的可観測性といった性質は、実現の構造とどのように関係するか？
• RQ4 両方とも近似的に可制御かつ可観測であっても、ある実現が他と同値でないのはなぜか？
• RQ5 $ H^2 $-空間とペイリー＝ウィーナの定理は、このような実現の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 右半平面上で正則かつ有界な任意の関数 $ G(s) $ は、ヒルベルト空間上での強い連続半群の無限小生成作用素 $ A $ を用いた状態空間実現を持つ。
• 伝達関数と解像作用素を結ぶ基本的恒等式 $ G(s) - G(z) = (z - s)C(sI - A)^{-1}(zI - A)^{-1}B $ が満たされ、これが解像作用素と関連づけられる。
• 適切な制御作用素 $ B $ と観測作用素 $ C $ が存在し、サラモンとウェイズの意味での系が適切に定義されていることが保証される。
• 近似的に可制御かつ近似的に可観測な実現を構成可能であるが、必ずしも正確に可観測ではない。
• 有限次元の実現とは同値ではなく、観測作用素がコンパクトであれば有限時間での正確な可観測性は成立しない。
• 構成手法により、近似的に可制御かつ可観測な実現がすべて同値であるとは限らないことが示され、無限次元系における構造的差異が浮き彫りになる。