[論文レビュー] A Reynolds-robust preconditioner for the Reynolds-robust Scott-Vogelius discretization of the stationary incompressible Navier-Stokes equations

Patrick E. Farrell, Lawrence Mitchell+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、重心型に細分化されたメッシュ上における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のScott-Vogelius有限要素離散化に対する増大ラグランジュプレコンディショナを提案する。メッシュの構造を活用して勾配-発散項の核を分解することで、Reynolds数に依存しない反復解法の性能とReynolds数に依存しない誤差推定を両立し、2次元および3次元の数値実験で検証された。

ABSTRACT

Augmented Lagrangian preconditioners have successfully yielded Reynolds-robust preconditioners for the stationary incompressible Navier-Stokes equations, but only for specific discretizations. The discretizations for which these preconditioners have been designed possess error estimates which depend on the Reynolds number, with the discretization error deteriorating as the Reynolds number is increased. In this paper we present an augmented Lagrangian preconditioner for the Scott-Vogelius discretization on barycentrically-refined meshes. This achieves both Reynolds-robust performance and Reynolds-robust error estimates. A key consideration is the design of a suitable space decomposition that captures the kernel of the grad-div term added to control the Schur complement; the same barycentric refinement that guarantees inf-sup stability also provides a local decomposition of the kernel of the divergence. The robustness of the scheme is confirmed by numerical experiments in two and three dimensions.

研究の動機と目的

• 高Reynolds数において誤差推定が劣化するという、Scott-Vogelius離散化に対するReynolds数に依存しないプレコンディショナの欠如を解消すること。
• Reynolds数に依存しない収束率を維持するプレコンディショナを開発すること。
• Reynolds数の増加に伴っても、離散化誤差が安定的かつ適切に制御されることを保証すること。
• 重心型細分化を活用して、勾配-発散項の核の局所的空間分解を可能とすること。
• 高Reynolds数下において、数値的安定性と最適な誤差推定の両方を達成すること。

提案手法

• 弱形式に由来する鞍部問題におけるスチェル補完の安定化に、増大ラグランジュフレームワークを採用する。
• 重心型細分化に基づいて、特殊な空間分解を構築し、勾配-発散項の核を捉える。
• 細分化により、inf-sup安定性が保証され、発散自由核の局所的分解が可能になる。
• プレコンディショナは、反復解法の性能と誤差推定の両方におけるロバスト性を維持するように設計されている。
• 本手法は、重心型に細分化されたメッシュの幾何的構造に依存して、効果的な核の近似を可能としている。
• 理論的主張の妥当性を検証するため、2次元および3次元の数値実験が実施された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Scott-Vogelius離散化に対して、Reynolds数に依存しない収束性を保証する増大ラグランジュプレコンディショナを設計可能か？
• RQ2 重心型細分化の使用が、勾配-発散項の核の安定的かつロバストな空間分解を可能にするか？
• RQ3 得られる手法が、Reynolds数に依存しない反復的性能とReynolds数に依存しない誤差推定の両方を達成できるか？
• RQ4 プレコンディショナは、2次元および3次元の高Reynolds数流れにおいてどのように性能を発揮するか？
• RQ5 重心型細分化のどのような構造的性質が、ロバスト性に不可欠な核の分解を可能にするか？

主な発見

• 提案されたプレコンディショナは、Reynolds数にかかわらず、線形方程式の反復的解法におけるReynolds数に依存しない収束性を達成した。
• ロバストな誤差推定のおかげで、Reynolds数の増加に伴っても離散化誤差が有界のまま保たれ、劣化しなかった。
• 重心型細分化により、勾配-発散項の核を効果的に捉える局所的空間分解が可能になった。
• 数値実験により、2次元および3次元の両方の空間次元で、本手法がロバストな性能を維持することが確認された。
• 増大ラグランジュ安定化とメッシュに基づく核の分解の組み合わせにより、安定性と精度の両方が保証された。
• 従来の手法では高Reynolds数下で非ロバストまたは誤差制御が不十分であったという限界を、本手法は効果的に克服した。