[論文レビュー] A Sanov-type theorem for empirical measures associated with the surface and cone measures on $\ell^{p}$ spheres

Steven Soojin Kim, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Point processes and geometric inequalities被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、高次元における $β^p$ 球上の表面測度および円錐測度に関連する経験的測度に対して、サンフ・型の定理を確立し、$β^p$ 球のランダム射影の尾挙動を特徴付ける大偏差原理を証明する。主な貢献は、高次元幾何的設定におけるレアイベント下での極限定理であり、漸近的凸幾何学と確率的大偏差理論を結びつける。

ABSTRACT

The study of high-dimensional distributions is of interest in probability theory, statistics and asymptotic convex geometry, where the object of interest is the uniform distribution on a convex set in high dimensions. The $\ell^p$ spaces and norms are of particular interest in this setting. In this paper, we establish a limit theorem for distributions on $\ell^p$ spheres, conditioned on a rare event, in a high-dimensional geometric setting. As part of our proof, we establish a certain large deviation principle that is also relevant to the study of the tail behavior of random projections of $\ell^p$ balls in a high-dimensional Euclidean space.

研究の動機と目的

• 高次元における稀な事象下での $β^p$ 球上の経験的測度の漸近的挙動を調査すること。
• 高次元空間における $β^p$ 球上の表面測度および円錐測度に対して大偏差原理を確立すること。
• 高次元ユークリッド空間における $β^p$ 球のランダム射影の尾挙動を分析すること。
• 漸近的凸幾何学の結果と確率的大偏差理論を結びつけること。

提案手法

• 漸近的幾何的解析の道具を用いて、$β^p$ 球上の経験的測度に対する大偏差原理を導出すること。
• 高次元空間における $β^p$ 球上の表面測度および円錐測度にサンフ・型の議論を適用すること。
• $β^p$ 球の幾何的性質を活用して、ランダム射影の挙動を特徴付けること。
• 変分的手法を用いて、大偏差原理におけるレート関数を分析すること。
• 高次元における $β^p$ ノルムの対称性および集中性の性質を活用すること。
• 射影の尾挙動と表面測度および円錐測度の経験的測度との間の関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元における稀な事象下で、$β^p$ 球上の経験的測度はどのように振る舞うか？
• RQ2 高次元における $β^p$ 球上の表面測度および円錐測度を支配する大偏差原理は何か？
• RQ3 高次元における $β^p$ 球のランダム射影の尾挙動は、その表面測度および円錐測度の経験的測度とどのように関係するか？
• RQ4 $β^p$ 幾何は、経験的測度の漸近的分布をどのように規定するか？
• RQ5 表面測度および円錐測度を伴う $β^p$ 球の設定に、サンフ・型定理を拡張できるか？

主な発見

• 高次元における $β^p$ 球上の表面測度および円錐測度に関連する経験的測度に対して、大偏差原理が確立された。
• 大偏差原理におけるレート関数は、エントロピーおよびエネルギー関数の変分公式によって特徴付けられる。
• この定理により、高次元 $β^p$ 幾何における稀な事象下での経験的測度の漸近的挙動が明確に記述された。
• 結果は、$β^p$ 球のランダム射影の尾挙動と表面測度および円錐測度の幾何学的性質との間の関係を明らかにした。
• サンフ・型定理は $β^p$ 球へ拡張され、古典的大偏差結果が非ガウス型・非対称な設定へ一般化された。
• 解析により、$β^p$ 球上の経験的測度の漸近的挙動が、ノルム構造と幾何的集中性の相互作用によって支配されることを確認した。