[論文レビュー] A second order differential equation for the relativistic description of electrons and photons

S. Ulrych|CERN Bulletin|Apr 26, 1999

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、パウリ行列と双曲的数を用いた新しい代数構造に基づき、電子と光子の記述を統一する第二階微分方程式（量子波動方程式）を提案する。この代数的構造を用いてクライン=ゴルドン方程式を再定式化することで、電子に対してディラック方程式の2次形式を再現し、光子に対してはマクスウェル方程式を導出する。相互作用のない状況では、標準的QEDと同等であることが示された。

ABSTRACT

A new relativistic description of quantum electrodynamics is presented. Guideline of the theory is the Klein-Gordon equation, which is reformulated to consider spin effects. This is achieved by a representation of relativistic vectors with a space-time algebra made up of Pauli matrices and hyperbolic numbers. The algebra is used to construct the differential operator of the electron as well as the photon wave equation. The properties of free electron and photon states related to this wave equation are investigated. Interactions are introduced as usual with the minimal substitution of the momentum operators. It can be shown that the new wave equation is equivalent to the quadratic form of the Dirac equation. Furthermore, the Maxwell equations can be derived from the corresponding wave equation for photons.

研究の動機と目的

• クライン=ゴルドン枠組みに基づき、電子と光子のための統一的相対論的波動方程式を構築すること。
• パウリ行列と双曲的数を用いた修正されたクリフォード代数を用いて、スピン効果をクライン=ゴルドン方程式に組み込むこと。
• 新しい量子波動方程式が、電子に対してディラック方程式の2次形式を再現することを示すこと。
• 同じ微分作用素を用いた光子の波動方程式からマクスウェル方程式を導出すること。
• 最小結合とゲージ不変性を通じて、標準的量子電磁力学と同等であることを確立すること。

提案手法

• 理論は、双曲的単位 j が j² = 1 を満たすように定義される、パウリ行列と双曲的数からなる時空代数を用いる。
• 相対論的ベクトルは、この代数の行列表現を用いて表現され、ローレンツおよびポincare変換の性質が導出可能である。
• 量子波動方程式の微分作用素は、第二階であるにもかかわらず、スピン作用素のように形式的に変換するように構成される。
• 電子の波動方程式は、この作用素を用いて定義され、自由場における平面波解が導出される。
• 光子の波動方程式は類似の方法で構築され、その平面波展開が導出され、ローレンツゲージ下でマクスウェル方程式と同等であることが示される。
• 相互作用は最小代入を用いて導入され、ゲージ不変なラグランジアンとQEDと整合する運動方程式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の微分作用素を用いて、第二階微分方程式が電子と光子の相対論的記述を統一できるか？
• RQ2 修正された代数的構造を用いて、スピン効果をクライン=ゴルドン方程式に組み込む方法は何か？
• RQ3 提案された量子波動方程式が、電子に対してディラック方程式の2次形式を再現するか？
• RQ4 同じ微分作用素に基づく光子の波動方程式からマクスウェル方程式を導出できるか？
• RQ5 相互作用を含む状況でも、新しい形式が標準的量子電磁力学と同等であるか？

主な発見

• 電子の量子波動方程式は、ディラック方程式の2次形式と同等であり、双曲的単位 j と γ₅ 行列によって同一の結合微分方程式が生じる。
• 微分作用素はスピン作用素のように変換され、第二階形式でも一貫したスピン構造が保証される。
• 光子の波動方程式は、すべてのマクスウェル方程式（非同次項を含む）を導出し、ローレンツゲージ下では非同次項が消える。
• 電子と光子の両方の平面波展開が類似の方法で構築され、反交換性のある場の負エネルギー成分が双曲的単位の乗算により適切に取り扱われる。
• 最小代入を用いて導出されたラグランジアンは、電子に対してディラック方程式と同等の運動方程式、光子に対しては非同次マクスウェル方程式を導く。
• 理論は従来のQEDと同一の物理的予測を支持しており、明示的な計算から同様の観測可能性が期待される。