[論文レビュー] A Second Poincare' Group

R. Aldrovandi, J. G. Pereira|ArXiv.org|Sep 21, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、強い宇宙定数極限におけるde Sitter群のIn"{o}n-Wigner縮約から生じる第二のPoincaré群を導入する。標準的なPoincaré群とは異なり、弱い宇宙定数極限から得られるものとは異なり、この第二の群は同じリー代数を持つが、無限大のスカラー曲率を示すがリーマンおよびリッチテンソルが消える錐空間（cone-space）上で作用する。この空間では特別な自己相似変換（special conformal transformations）が推移的に作用し、慣性系の等価性は特殊相対性理論と同様に保たれる。

ABSTRACT

Solutions of the sourceless Einstein's equation with weak and strong cosmological constants are discussed by using Inönü-Wigner contractions of the de Sitter groups and spaces. The more usual case corresponds to a weak cosmological-constant limit, in which the de Sitter groups are contracted to the Poincaré group, and the de Sitter spaces are reduced to the Minkowski space. In the strong cosmological-constant limit, however, the de Sitter groups are contracted to another group which has the same abstract Lie algebra of the Poincaré group, and the de Sitter spaces are reduced to a 4-dimensional cone-space of infinite scalar curvature, but vanishing Riemann and Ricci curvature tensors. In such space, the special conformal transformations act transitively, and the equivalence between inertial frames is that of special relativity.

研究の動機と目的

• 強い宇宙定数極限における時空の数学的構造を群縮約技術を用いて探求すること。
• de Sitter群の異なる極限過程から生じるが、Poincaré群と同型な新しい対称性群を同定すること。
• 得られた時空の幾何学的および物理的性質、特に曲率および等長群構造を分析すること。
• 新しい時空における特別な自己相似変換の役割と、慣性系の等価性への影響を調査すること。
• de Sitter幾何学の文脈において、弱いΛ極限から得られる標準的Poincaré群と強いΛ極限から得られるこの新しい群との違いを明確にすること。

提案手法

• 大きな宇宙定数の極限におけるde Sitter群にIn"{o}n-Wigner縮約を適用すること。
• 得られるリー代数を導出し、Poincaré代数と同型であることを特定するが、異なる縮約経路から得られるものである。
• 4次元の錐空間として対応する時空を構成し、無限大のスカラー曲率を持つことを示すこと。
• 錐空間のリーマンおよびリッチ曲率テンソルを計算し、それらが恒等的に消えることを確認すること。
• 錐空間の等長群を分析し、特別な自己相似変換が空間上で推移的に作用することを示すこと。
• 新しい時空において慣性系の等価性が保たれることを確立し、特殊相対性理論と類似した構造を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Sitter群を強い宇宙定数極限で縮約したとき、どのような群構造が出現するか？
• RQ2 得られた時空の幾何学的性質は、曲率不変量の観点からミンコフスキー空間とどのように異なるか？
• RQ3 新しい時空における特別な自己相似変換の役割は何か？また、慣性系の等価性を保つのか？
• RQ4 リーマンおよびリッチ曲率が消え、スカラー曲率が無限大である時空が、一貫した相対論的構造を支持できるか？
• RQ5 物理的および幾何学的解釈の観点から、この第二のPoincaré群は標準的Poincaré群とどのように異なるか？

主な発見

• 強い宇宙定数極限におけるde Sitter群のIn"{o}n-Wigner縮約により、第二のPoincaré群が導出された。
• 得られた時空は、無限大のスカラー曲率を示すがリーマンおよびリッチ曲率テンソルが消える4次元の錐空間（cone-space）である。
• 錐空間の等長群には特別な自己相似変換が含まれており、空間上で推移的に作用する。
• 錐空間における慣性系の等価性は保持されており、特殊相対性理論と類似した構造を示している。
• 第二のPoincaré群の抽象的リー代数は、標準的Poincaré群と同一であるが、異なる幾何的極限から生じる。
• この構成により、非自明な大域的構造を持つがリーマン曲率が自明な時空におけるPoincaré対称性の新たな実現が確立された。