[論文レビュー] A Self-Dual Hopf Algebra on Double Partially Ordered Sets

Claudia Malvenuto, Christophe Reutenauer|arXiv (Cornell University)|May 21, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、二重部分順序集合（二重poset）の同型類の集合に、直和を積として、順序理想への自然な分解を余積として用いることで、自己双対なホップ代数を構成する。主な貢献は、二重poset間の「図」を数えるスカラー積であり、これはリトルウッド・リチャードソン則を一般化し、スターリングのラベル付きposetおよび置換のホップ代数へ等長的かつ内部積を保存する準同型写像によって関連づける。

ABSTRACT

Let $\mathbf D$ be the set of isomorphism types of finite double partially ordered sets, that is sets endowed with two partial orders. On $\BZ\mathbf D$ we define a product and a coproduct, together with an internal product, that is, degree-preserving. With these operations $\BZ\mathbf D$ is a Hopf algebra, self-dual with respect to a scalar product which counts the number of pictures (in the sense of Zelevinsky) between two double posets. The product and coproduct correspond respectively to disjoint union of posets and to a natural decomposition of a poset into order ideals. Restricting to special double posets (meaning that the second order is total), we obtain a notion equivalent to Stanley's labelled posets, and obtain a sub-Hopf-algebra already considered by Blessenohl and Schocker. The mapping which maps each double poset onto the sum of the linear extensions of its first order, identified via its second (total) order with permutations, is a Hopf algebra homomorphism, which is isometric and preserves the internal product, onto the Hopf algebra of permutations, previously considered by the two authors. Finally, the scalar product between any special double poset and double posets naturally associated to integer partitions is described by an extension of the Littlewood-Richardson rule.

研究の動機と目的

• 有限二重posetの同型類の集合に、新しい自己双対ホップ代数構造を定義すること。
• 二重poset間の「図」に基づくスカラー積を定義し、スケア・ゼレフスキーのスケアシューファンクションの図数え上げを一般化すること。
• 第二の順序が全順序である特別な二重posetの部分ホップ代数が、スターリングのラベル付きposetと同型であり、置換のホップ代数へ等長的かつ内部積を保存する準同型写像を定めること。
• 特殊二重posetと整数分割に関連する二重poset間のスカラー積を、拡張されたリトルウッド・リチャードソン則を用いて計算できることを示すこと。

提案手法

• 二重posetの自由Z加群上で、両方の部分順序を保つ直和を積として定義する。
• 第一の順序における下位理想とその補集合への分解を用いて、余積を定義し、両方の順序を成分に制限する。
• スカラー積⟨x, y⟩を、二重poset xからyへの順序を保つ写像（図）の数として定義し、ゼレフスキーの定義を一般化する。
• 得られた代数が、階数付きで連結なバイアルゲブラであることを示し、したがってホップ代数であり、このスカラー積に関して自己双対であることを示す。
• 第二の順序が全順序である特別な二重posetに制限することで、スターリングのラベル付きposetを回復し、置換ホップ代数へのホップ代数準同型写像を確立する。
• 標準ヤング表の行および読み方の単語を用い、置換およびその逆元を組み合わせることでスカラー積を特徴付け、リトルウッド・リチャードソン則を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、組合せ的演算を用いて二重poset上に自己双対ホップ代数を構成できるか？
• RQ2 二重poset間の「図」が、リトルウッド・リチャードソン則を一般化するスカラー積を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 第二の順序が全順序である特別な二重posetの部分ホップ代数は、スターリングのラベル付きposetおよび置換のホップ代数とどのように関係するか？
• RQ4 特殊二重posetと整数分割に関連する二重posetとの間のスカラー積は、拡張されたリトルウッド・リチャードソン則を用いて計算可能か？
• RQ5 特別な二重posetから置換ホップ代数への自然な準同型写像は、等長的かつ内部積を保存するか？

主な発見

• 同型類の自由Z加群は、直和（積）および順序理想への分解（余積）に関して、図の数え上げによって定義される双対性を持つ自己双対ホップ代数となる。
• スカラー積⟨x, y⟩は、xからyへの順序を保つ写像（図）の数を数え、スケア・ゼレフスキーのスケア形状における図数え上げを一般化する。
• 第二の順序が全順序である特別な二重posetの部分ホップ代数は、スターリングのラベル付きposetと同型であり、置換ホップ代数へ同型的に写像される。
• 特別な二重posetから置換ホップ代数への準同型写像は、等長的かつ内部積を保存する。
• 特殊二重posetと整数分割に関連する二重posetとの間のスカラー積は、リトルウッド・リチャードソン則の拡張によって計算可能である。
• 標準ヤング表の読み方の単語は、長さ最大の元およびヤング部分群の元を含む置換を用いて、ラティス順序の置換の標準化の逆元と関係づけられる。