[論文レビュー] A short proof of a formula of Brasselet, Le and Seade for the Euler obstruction

Joerg Schuermann|ArXiv.org|Jan 31, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、消失サイクル関手のインデックス定理（Dubson, Lê, Ginsburg, Sabbah）を用いて、複素解析的局所環 $(X,0)$ の一般化されたオイラー歪度の簡潔な証明を提供する。非退化性条件を満たす線形形式 $l$ の下で、原点におけるオイラー歪度は、各層のミルナー・ファイバーのオイラー特性の重み付き和に等しくなる。重みは各層におけるオイラー歪度の値である。この結果は、Brasselet, Lê, Seade の先行研究を非等次元的空間およびより一般的な可 constructible 関数へと拡張する。

ABSTRACT

Using the index theorem of Dubson, Le, Ginsburg and Sabbah for the vanishing cycle functor, we give a short proof of formula of Brasselet, Le and Seade for the Euler obstruction.

研究の動機と目的

• 複素解析的局所環の非等次元的バージョンにおける Brasselet, Lê, Seade のオイラー歪度公式を一般化すること。
• 幾何的議論を避け、消失サイクル関手のインデックス定理を用いて簡潔な証明を提供すること。
• 層の閉包のオイラー歪度の線形結合である可 constructible 関数へと公式を拡張すること。
• ホイットニー $b$-正則性より弱い正則性条件（例えば $C$-正則性）の下でも公式が成り立つようにすること。
• 線形形式に加え、原点で非退化な微分を持つ正則関数の局所環に対しても結果が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 原点で非退化な微分を持つ線形形式 $l$ に対して、近くのサイクル関手 $\psi_l$ に Dubson, Lê, Ginsburg, Sabbah のインデックス定理を適用する。
• 層の局所的に鋭い構造とリンクのオイラー特性の消滅により、$i_0^!\psi_l(\alpha)(0) = i_0^*\psi_l(\alpha)(0)$ の同値性を用いる。
• 可 constructible 関数 $\alpha$ を、各層 $V_i$ に対する $Eu(cl(V_i), \cdot)$ の線形結合として定義し、精密化されたホイットニー層分割に関して可 constructible であることを保証する。
• 値 $\alpha(0)$ を、開ミルナー・ファイバー $V_i \cap \mathbb{B}_\epsilon^\circ \cap l^{-1}(t_0)$ のコンパクト台付きオイラー特性 $\chi_c(V^\circ(i,\epsilon,t_0))$ に関連付ける。
• ポincare双対性を用いて、滑らかな層に対して $\chi(V_i \cap \mathbb{B}_\epsilon \cap l^{-1}(t_0))$ と $\chi_c(V^\circ(i,\epsilon,t_0))$ を等しくする。
• 微分 $dl_0$ が原点における一般化された接空間上で消えないことにより、非退化性条件が保証され、これがインデックス公式の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brasselet, Lê, Seade のオイラー歪度公式は、非等次元的複素解析的局所環へ一般化可能か？
• RQ2 この公式は、層の閉包のオイラー歪度の線形結合である可 constructible 関数へも拡張可能か？
• RQ3 消失サイクル関手のインデックス定理が $\alpha(0)$ を計算するために適用可能となる線形形式 $l$ の条件は何か？
• RQ4 ホイットニー $b$-正則性層分割を超えて、$C$-正則性やその他のより弱い正則性条件へも結果を拡張可能か？
• RQ5 線形形式 $l$ を、原点で非退化な微分を持つ一般の正則関数の局所環に置き換えても、公式は依然として成り立つか？

主な発見

• 標準的な非退化性条件の下で、任意の一般の線形形式 $l$ に対して、オイラー歪度 $Eu(X,0)$ は $\sum_{i=1}^k \chi(V_i \cap \mathbb{B}_\epsilon \cap l^{-1}(t_0)) \cdot Eu_{V_i}(X)$ に等しい。
• 任意の可 constructible 関数 $\alpha$ が $Eu(cl(V_i), \cdot)$ の線形結合であるとき、$\alpha(0)$ は $\sum_{i=1}^k \chi_c(V^\circ(i,\epsilon,t_0)) \cdot \alpha_i$ に等しくなる。ここで $\alpha_i$ は $\alpha$ の $V_i$ 上での値である。
• リンク $Z$ の原点におけるオイラー特性の消滅（Sullivanの定理の帰結）により、$i_0^!\psi_l(\alpha)(0) = i_0^*\psi_l(\alpha)(0)$ が成り立つ。
• $dl_0$ が原点における一般化された接空間上で非退化であることは、$dl_0 \not\in \overline{\mathrm{im}(T^*_{V_i}\mathbb{C}^N)}$ と同値であり、これがインデックス公式の適用を保証する。
• 結果は線形形式に限らず、原点で非退化な微分を持つ任意の正則関数の局所環に対しても、同じ非消滅条件の下で成り立つ。
• ホイットニー $b$-正則性より弱い正則性仮定（例えば $C$-正則性）の下でも、インデックス定理の文脈で結果が成り立つ。