[論文レビュー] A simple anisotropic three-dimensional quantum spin liquid with fracton topological order

Olga Petrova, Nicolas Regnault|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Theoretical and Computational Physics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、立方格子上に定義された単純な異方的三次元量子スピン模型を紹介し、その模型がフラクチオントポロジカル秩序を実現することを示している。この秩序の特徴は、固定された点状励起（フラクチオン）と、1次元または2次元の部分空間内で移動可能な複合励起を有することである。この模型は、三つ子トーラス上での次下確率的基底デゲネラシー $2^{2L_z}$ を示し、$ hat{x}$ および $ hat{y}$ 方向に垂直な境界でのみゼロエネルギー表面モードを示す。これは積層型トーリックコード構成とは明確に異なる。

ABSTRACT

We present a three-dimensional cubic lattice spin model, anisotropic in the $\hat{z}$ direction, that exhibits fracton topological order. The latter is a novel type of topological order characterized by the presence of immobile pointlike excitations, named fractons, residing at the corners of an operator with two-dimensional support. As other recent fracton models, ours exhibits a subextensive ground state degeneracy: On an $L_x imes L_y imes L_z$ three-torus, it has a $2^{2L_z}$ topological degeneracy, and an additional non-topological degeneracy equal to $2^{L_xL_y-2}$. The fractons can be combined into composite excitations that move either in a straight line along the $\hat{z}$ direction, or freely in the $xy$ plane at a given height $z$. While our model draws inspiration from the toric code, we demonstrate that it cannot be adiabatically connected to a layered toric code construction. Additionally, we investigate the effects of imposing open boundary conditions on our system. We find zero energy modes on the surfaces perpendicular to either the $\hat{x}$ or $\hat{y}$ directions, and their absence on the surfaces normal to $\hat{z}$. This result can be explained using the properties of the two kinds of composite two-fracton mobile excitations.

研究の動機と目的

• 固定された点状励起を有するフラクチオントポロジカル秩序を実現する単純な三次元量子スピン模型を構築すること。
• 異方的結合を有する三次元格子において、系のサイズおよび境界条件に依存する基底デゲネラシーを調査すること。
• 表面のゼロエネルギーモードの性質と、フラクチオンから形成される複合移動励起との関係を理解すること。
• モデルが積層型トーリックコードに断続的に接続できないことを示すこと、ただし2次元トーリックコードにインspiredされている。
• 境界条件がモデルのスペクトルおよびデゲネラシー構造に与える影響を調査すること。

提案手法

• 立方格子の隣接する $xy$-面に配置された2次元トーリックコードハミルトニアンを、$ hat{z}$ 方向に異方的結合で結合することでモデルを構築する。
• ハミルトニアンには、隣接する $xy$-面の隣接するパラレル面演算子の積として定義される立方体演算子 $ hat{Q}_c$ が含まれ、基底状態では $ hat{Q}_c = +1$ を満たす。
• $ hat{Q}_c = +1$ の制約を破ることで励起が生成され、2次元演算子の角に固定されたフラクチオンが生じる。
• フラクチオンをペアリングすることで複合励起が形成され、これらは $ hat{z}$ 方向に沿って、または固定された $z$ での $xy$ 平面内で自由に移動可能である。
• 基底デゲネラシーは、独立な制約とスピン自由度の数から導かれる。トポロジカルおよび非トポロジカルな寄与を区別する。
• 開境界条件を異なる方向に適用し、デゲネラシーおよび表面モードへの影響を分析する。ストリング演算子を用いて局所的なゼロエネルギー励起を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積層型トーリックコードに断続的に接続できないが、フラクチオントポロジカル秩序を示す単純な3次元スピン模型を構築可能か？
• RQ2 開境界の存在下でのゼロエネルギー表面モードの性質と起源は何か？
• RQ3 3次元フラクチオン系において、基底デゲネラシーは系のサイズおよび境界条件にどのように依存するか？
• RQ4 複合励起が任意の粒子励起の移動性および局在性を決定する役割は何か？
• RQ5 この模型ではどのようにして次下確率的トポロジカルデゲネラシーが生じるのか？また、$L_z$ 方向に依存する性質は何か？

主な発見

• モデルは、$L_x \times L_y \times L_z$ の三つ子トーラス上でのトポロジカル基底デゲネラシー $2^{2L_z}$ を示し、これは $ hat{z}$ 方向の制約に起因する。
• さらに、$L_z$ に依存しない $xy$-面自由度に起因する非トポロジカルデゲネラシー $2^{L_x L_y - 2}$ が生じる。
• $\nhat{z}$ 方向に開境界条件を適用した場合、トポロジカルデゲネラシーは $2^{2L_z}$ のまま維持されるが、立方体制約の数は $L_x L_y (L_z - 1)$ に減少する。
• ゼロエネルギー表面モードは、$ hat{x}$ および $ hat{y}$ 方向に垂直な境界でのみ出現し、$ hat{x}$ 方向に開境界の場合は、表面での局所的ストリング演算子の作用により $2^{L_y L_z}$ のデゲネラシーを示す。
• $\nhat{z}$ 方向に垂直な境界では、このような表面モードは出現しない。これは、$ hat{Q}_c = -1$ の欠陥を、バルク制約を破ることなく局所的に生成できないためである。
• フラクチオン励起およびその複合移動パターンが積層型構成とは根本的に異なるため、モデルは積層型トーリックコードに断続的に接続できない。