[論文レビュー] A simple computational approach to the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model via the Laplace-Adomian Decomposition Method

Tiberiu Harko, M. K. Mak|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SIR疫病モデルの単純で高精度な級数解を導出するためのラプラス＝アドミアン分解法（LADM）を提案する。この手法により、パラメータフィッティングや疫学的分析が効率的に行える。この方法は指数関数の級数としての半解析的解を生成し、わずか3項で数値結果と非常に近い一致を示す。これは、データ比較やモデルフィッティングに用いる正確なパrametric解の計算負荷を軽減する、計算的に効率的な代替手法を提供する。

ABSTRACT

The Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model is extensively used for the study of the spread of infectious diseases. Even that the exact solution of the model can be obtained in an exact parametric form, in order to perform the comparison with the epidemiological data a simple but highly accurate representation of the time evolution of the SIR compartments would be very useful. In the present paper we obtain a series representation of the solution of the SIR model by using the Laplace-Adomian Decomposition Method to solve the basic evolution equation of the model. The solutions are expressed in the form of infinite series. The series representations of the time evolution of the SIR compartments are compared with the exact numerical solutions of the model. We find that there is a good agreement between the Laplace-Adomian semianalytical solutions containing only three terms, and the numerical results.

研究の動機と目的

• 実際の疫学的データとの比較を容易にするために、SIRモデルの時間的変化を単純かつ正確に表現する解析的表現を開発すること。
• 正確なパrametric解の計算負荷を軽減するため、級数に基づく半解析的代替手法を提供すること。
• 扱いやすい関数形を用いて、データフィッティングによる感染率（$\beta$）および回復率（$\gamma$）の効率的推定を可能にすること。
• 3項で切り捨てた級数解が、多様なパrameter領域においてSIRモデルのダイナミクスを正確に捉えられることを示すこと。

提案手法

• SIRモデルにおける回復者 compartment $z(t)$ を記述する基本的な非線形常微分方程式に、ラプラス＝アドミアン分解法（LADM）を適用する。
• 解は無限級数 $z(t) = \sum_{i=0}^{\infty} z_i(t)$ の形に表現され、アドミアン多項式を用いて再帰的に計算される。
• 非線形微分方程式を線形化するためにラプラス変換が用いられ、級数の各項を再帰的に解くことが可能になる。
• 得られた級数解は3項で切り捨てられ、$x(t)$、$y(t)$、$z(t)$ の実用的な半解析的近似が得られる。
• この手法により、指数関数の和としての解が得られ、実際の疫学的データへの直接フィッティングが容易になる。
• 複数のパrameterセットにおいて、切り捨てられた3項級数解と正確な数値解を比較することで、手法の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LADMを用いて導出された切り捨てられた級数解は、計算コストを最小限に抑えつつ、SIRモデルの各コンpartmentsの時間的変化を正確に表現できるか？
• RQ2 3項のLADM級数近似は、$\beta$ および $\gamma$ の値が異なるさまざまな状況において、正確な数値解とどの程度一致するか？
• RQ3 半解析的級数解は、実世界の疫学的データへの $\beta$ および $\gamma$ のフィッティングをどの程度簡素化できるか？
• RQ4 LADMに基づく級数解は、感染のピークや回復トレンドを含むSIRモデルの定性的なダイナミクスを保持しているか？

主な発見

• 3項で切り捨てられたラプラス＝アドミアン級数解は、すべてのテスト済みパrameterセットにおいてSIRモデルのダイナミクスを非常に正確に近似しており、正確な数値解とよく一致している。
• わずか3項でさえも、数値結果と良好な一致を示しており、実用的応用において強い収束性と信頼性を示している。
• 半解析的解は指数関数の和として表現されており、実際の疫学的データへの直接フィッティングを容易にする。
• 感染率 $\beta$ や回復率 $\gamma$ の値が多様な場合、たとえ高い感染率や速い回復率であっても、解の正確さが保たれている。
• 2項近似でも妥当なフィットネスが得られており、計算量のわずかな増加で精度が向上することを示している。
• 正確なパrametric解は各ステップで時間積分を数値的に評価する必要があるため、計算負荷が大きいが、本手法はその代替として計算的に効率的である。