[논문 리뷰] A stochastic control approach to no-arbitrage bounds given marginals, with an application to lookback options

Alfred Galichon, Pierre Henri-Labordère외 1명|Sciences Po publications|2014. 01. 16.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유료 자산의 만기 시 근간 분포만 알려져 있을 때 파생상품 가격에 대한 강건한 아르비트 없는 경계를 계산하기 위한 확률적 제어 기반 이중성 프레임워크를 제안한다. 슈퍼헤징 문제를 연속 마틴갈 게임 최적 운반 문제로 재구성함으로써, 고전적인 스토로호드 임베딩 방법에서 요구하는 시간에 따른 불변성 제약을 피하고 수치적 근사를 가능하게 한다. 이는 룩백 옵션의 아제마-요르 해를 특수한 경우로 회복한다.

ABSTRACT

We consider the problem of superhedging under volatility uncertainty for an investor allowed to dynamically trade the underlying asset, and statically trade European call options for all possible strikes with some given maturity. This problem is classically approached by means of the Skorohod Embedding Problem (SEP). Instead, we provide a dual formulation which converts the superhedging problem into a continuous martingale optimal transportation problem. We then show that this formulation allows us to recover previously known results about lookback options. In particular, our methodology induces a new proof of the optimality of Azéma-Yor solution of the SEP for a certain class of lookback options. Unlike the SEP technique, our approach applies to a large class of exotics and is suitable for numerical approximation techniques.

연구 동기 및 목표

• 기초 자산의 만기 시 근간 분포만 알려져 있을 때 변동성 불확실성 하에서 강건한 슈퍼헤징 프레임워크를 개발하는 것.
• 시간에 따라 변하지 않는 수익 구조를 요구하는 스토로호드 임베딩 문제(SEP)의 한계를 극복하여 특정 외환 파생상품에만 적용 가능한 제약을 해소하는 것.
• 연속 마틴갈 과정을 통해 최적 운반 이론과 강건한 슈퍼헤징을 연결하는 이중성 공식을 수립하는 것.
• 제안된 이중성에 기반해 아르비트 없는 경계의 수치적 근사를 가능하게 하여 해석적 해를 넘어서는 확장성을 확보하는 것.
• 제안된 프레임워크를 활용해 룩백 옵션에 대한 아제마-요르 해의 최적성 재유도 및 새로운 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 벤아무-브레니에와 빌라니의 영감을 받아 캄토로비치 이중성에 기반해 강건한 슈퍼헤징 문제를 이중 최적 제어 문제로 재구성한다.
• 동적 가치 과정 $ V_t(\omega) = \sup_{P \in P_t^\infty} E^P_\omega[\xi] $ 를 정의하여, 시간 $ t $ 에서의 최소 슈퍼헤징 비용을 나타내며, 각 확률측도 하에서 오른쪽 연속의 세미마르팅갈이 된다.
• Doob-Meyer 분해를 $ V_t $ 에 적용하여 $ V_t = V_0 + \int_0^t \hat{H}_s dB_s - K^P_t $ 를 도출하며, 여기서 $ \hat{H} $ 는 최적 제어이고 $ K^P $ 는 비감소 보정자이다.
• 과정 $ X^{\hat{H}} = V_0 + \int_0^\cdot \hat{H}_s dB_s $ 가 모든 $ P \in P^\infty_\infty $ 에서 마틴갈이 되고 $ X^{\hat{H}}_T \geq \xi $ 임을 보여, $ V_0 \geq \sup_P E^P[\xi] $ 를 유도한다.
• 최소성 조건 $ \inf_P E^P[K^P_T] = 0 $ 를 적용하여 헤징 전략의 최적성과 이중성 갭의 0을 보장한다.
• 룩백 옵션에 이 프레임워크를 적용하여, 이중 공식을 통해 아제마-요르 해를 최적 해로 재구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토로호드 임베딩 문제에 의존하지 않고, 이중성 기반의 확률적 제어 프레임워크를 개발하여 강건한 아르비트 없는 경계를 계산할 수 있는가?
• RQ2 제안된 이중성 공식이 더 넓은 외환 파생상품의 클래스에서 슈퍼헤징 비용의 수치적 근사를 가능하게 하는가?
• RQ3 이 새로운 이중성 프레임워크를 통해 룩백 옵션에 대한 아제마-요르 해를 재유도하고 최적성의 증명을 제공할 수 있는가?
• RQ4 동적 가치 과정 $ V_t $ 는 슈퍼헤징 문제를 최적 운반 이론과 확률적 제어에 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 보정자 $ K^P $ 의 최소성 조건은 이중 공식에서 헤징 전략의 최적성을 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 제안된 이중성 공식은 강건한 슈퍼헤징 문제를 연속 마틴갈 게임 최적 운반 문제로 변환하여, 스토로호드 임베딩 방법에서 요구하는 시간에 따른 불변성 조건을 초월한 새로운 유형의 해를 가능하게 한다.
• 모든 $ P^\infty_\infty $ 에 속하는 확률측도 하에서 동적 가치 과정 $ V_t $ 는 오른쪽 연속의 세미마르팅갈임이 입증되었으며, 이는 Doob-Meyer 분해의 존재를 보장한다.
• 가격 과정의 제곱변동에서 유도된 최적 제어 $ \hat{H} $ 는 모든 관련 측도 하에서 마틴갈이 되는 슈퍼리플리케이션 전략을 정의한다.
• 이중성 갭은 0이다: $ V_0 = \sup_P E^P[\xi] $, 이는 이중 공식이 정확한 강건한 슈퍼헤징 비용을 도출함을 확인한다.
• 룩백 옵션의 경우, 이 프레임워크는 아제마-요르 해를 최적 해로 재구성하며, 시간에 따른 브라운 운동에 의존하지 않는 새로운 최적성 증명을 제공한다.
• 이 방법은 보난스와 반 [5] 및 탄과 투지 [38] 의 방법과 유사한 근사 기법과의 호환성으로 인해 수치적으로 실현 가능하다.